门| GATE MOCK 2017 |问题12

这是 GATE 2017 的模拟考试中的问题，它涉及到图论中的最短路径和贪心算法。问题描述如下：

有一个有向带权图，其中每个节点都有一个颜色。你需要从一个起点到达一个终点，并且想尽可能地经过一些特定颜色的节点。特定颜色的节点集合由给定的颜色列表指定。你可以在节点之间移动，但要求路径上经过至少一个特定颜色的节点。你可以多次经过同一节点，但每次经过都必须累计其权重。

请编写一个函数，它接受以下参数：

• 图中的节点数 n
• 图的邻接列表 adjList，表示每个节点的相邻节点和对应边的权重
• 起点的编号 start
• 终点的编号 end
• 列表 colors，表示你需要经过的特定颜色的节点的集合

函数应该返回最短路径长度、到达最短路径的前驱节点和到达特定颜色节点的最短路径长度。

解决方案

本问题可以用 Dijkstra 算法来解决。具体来说，我们可以通过维护三个优先级队列（分别用于最短路径、前驱、颜色节点的路径），以实现基于 Dijkstra 算法的解决方案。

代码实现

import heapq

def shortestPath(n: int, adjList: List[List[Tuple[int, int]]], start: int, end: int, colors: List[int]) -> Tuple[int, List[int], int]:
    # 初始化三个优先级队列
    dist = [float('inf')] * n
    dist[start] = 0  # 起点的最短距离为 0
    heap = [(0, start)]  # 最短路径队列
    pred = [None] * n
    heap2 = []  # 前驱节点队列
    shortests = {color: float('inf') for color in colors}
    heap3 = []  # 颜色节点最短路径队列
    
    # 开始 Dijkstra 算法
    while heap:
        (d, v) = heapq.heappop(heap)
        if d > dist[v]:  # 已被处理，跳过
            continue
        if v == end:  # 已找到终点，返回结果
            return (d, pred, shortests[min(shortests, key=lambda x: shortests[x])])
        
        # 处理每个邻居节点
        for (u, weight) in adjList[v]:
            d2 = d + weight  # 相邻节点的距离
            if dist[u] > d2:  # 新的路径更短
                dist[u] = d2
                heapq.heappush(heap, (d2, u))
                pred[u] = v
                heapq.heappush(heap2, (u, v))
                if u in colors:
                    shortests[u] = min(shortests[u], d2)
                    heapq.heappush(heap3, (shortests[u], u))
    
    # 未找到终点，返回 None
    return None

处理情况

该函数将返回三个值：

1. 最短路径的长度
2. 到达最短路径的前驱节点
3. 到达特定颜色节点的最短路径长度

如果未找到最短路径，则返回 None。

总结

本问题是一个时间复杂度 $O(m \log n)$（其中 $m$ 是边的数量）的问题，使用 Dijkstra 算法可以解决。这个解决方案使用三个优先级队列来处理最短路径、前驱节点和颜色节点的最短路径。