教资会网络 | UGC-NET CS 2017 年 11 月 – III |问题 59

本题考察了程序员对数据结构的理解和算法的应用能力。

问题描述

编写一个程序，实现以下三个操作：

1. 插入一个值为 x 的元素到一个大小为 n 的堆中，其中 x 是正整数。堆的定义为：对于从 1 到 i (1 <= i <= n) 的任意整数序列 a，满足 a[1] 是堆中的最小元素。即 a[i / 2] <= a[i] (i > 1)，或 a[1]。

2. 从一个大小为 n 的堆中删除堆的最小元素，并返回该元素的值。

3. 找出大小为 n 的堆中的最小元素，并返回该元素的值，但不删除它。

解决方案

为了实现上述操作，我们可以使用一个基于数组的堆结构。该堆满足以下性质：

1. 除了根节点，堆中的每个节点都有一个父节点，该父节点的索引为 i / 2。

2. 对于堆中任何给定节点 i，该节点的两个子节点的索引分别为 2i 和 2i + 1（如果存在）。

3. 如果两个子节点存在，则堆中节点 i 的值小于它的两个子节点的值。

在这里，我们使用一个基于 0 的数组 arr[] 来存储堆，因为通过使用这种方法，我们可以方便地计算每个元素的父节点和子节点的索引。

下面是我们实现的程序：

# 定义一个数组用于表示堆
arr = []

# 将值 x 插入堆
def insert_heap(x):
    global arr
    n = len(arr) # 获取当前堆的长度
    arr.append(x) # 将新元素添加到末尾
    i = n # 当前元素的索引
    while i > 0 and arr[i] < arr[(i-1)//2]: # 向上移动元素，直到满足堆的性质
        arr[i], arr[(i-1)//2] = arr[(i-1)//2], arr[i]
        i = (i-1)//2

# 从堆中删除最小元素，并返回它的值
def delete_min():
    global arr
    n = len(arr) # 获取当前堆的长度
    if n == 0: # 如果堆为空，返回 None
        return None
    root = arr[0] # 保存堆的根节点
    arr[0] = arr[n-1] # 将末尾的元素移动到根节点
    arr.pop() # 从列表中删除最后一个元素
    n -= 1
    i = 0 # 当前节点的索引
    while True:
        left = 2*i + 1 # 左儿子的索引
        right = 2*i + 2 # 右儿子的索引
        smallest = i # 保存当前节点、左儿子和右儿子中的最小值
        if left < n and arr[left] < arr[smallest]:
            smallest = left
        if right < n and arr[right] < arr[smallest]:
            smallest = right
        if smallest == i: # 如果当前节点已经是最小值，退出
            break
        arr[i], arr[smallest] = arr[smallest], arr[i] # 交换当前节点和最小值的位置
        i = smallest
    return root

# 找到堆中的最小元素，但不删除它
def find_min():
    if len(arr) == 0:
        return None
    else:
        return arr[0]

总结

本题涉及到了数据结构中堆的基本操作，即插入、删除和查找最小值。堆是一种十分实用的数据结构，它可以用于快速排序、最短路径算法等许多场合。在实际编程中，堆结构的应用非常广泛，程序员应该掌握堆的基本概念、性质和实现方法。