外接矩形的最大面积

要求在给定大小为 LxW 的矩形内，外接一个矩形使得这个外接矩形的面积最大。

算法思路

我们可以将外接矩形的长和宽分别用 x 和 y 表示，我们需要找到一个 x 和 y 的取值使得 $xy$ 最大。

考虑到外接矩形必须在原矩形内，因此我们可以列出以下约束条件：

• $0 < x < L$
• $0 < y < W$

由于上述约束条件可能存在，我们需要对最优解进行讨论。具体思路如下：

1. 情况一：$L < W$

此时我们可以交换 L 和 W，将问题转化为 $W < L$ 的情况。因此我们之后只需要考虑 $W < L$ 的情况。

2. 情况二：$x = L$ 或 $y = W$

当 x 等于 L 时，外接矩形的边长等于 L，此时 y 取任意值都满足约束条件。当 y 等于 W 时，同理。

3. 情况三：$x \neq L$ 且 $y \neq W$

此时我们需要使用求导来寻找最优解。根据前面列出的约束条件，我们可以得到以下目标函数：

$$f(x,y) = xy$$

我们需要找到目标函数在约束条件下的最大值，利用拉格朗日乘数法可以得到以下方程组：

$$\begin{cases} y - \lambda = 0 \ x - \frac{\lambda W}{2y} = 0 \ xy - \lambda \frac{LW}{4} = 0 \ \end{cases}$$

通过解方程可以得到：

$$x = \sqrt{LW}, \ y = \sqrt{LW}$$

这时候需要检查约束条件，发现 $x < L$ 和 $y < W$ 时成立。因此当 $L > 0$ 时，外接矩形的最大面积为：

$$S = LW$$

当 $L = 0$ 时，显然外接矩形不存在，面积为零。

代码实现

def max_rectangle_area(L, W):
    if L == 0 or W == 0:
        return 0
    elif L < W:
        return max_rectangle_area(W, L)
    else:
        return L * W

以上是以 Python 语言为例的示例代码。