给定坐标下最大矩形的面积

在二维平面上给定 $n$ 个点的坐标，找到一个矩形，使得这个矩形内部至少包含其中 $k$ 个点，且矩形的面积最大。

这个问题可以被抽象为 最大化包含点的矩形面积。该问题通常被称为矩形面积覆盖问题（Rectangular Area Coverage Problem），设目标矩形的左下角为 $(x_1,y_1)$，右上角为 $(x_2,y_2)$，则问题可以表示为：

$$\max_{x_1\le x_2,\ y_1\le y_2}{(x_2-x_1)\cdot(y_2-y_1):k\le\sum_{i=1}^n[x_i\in [x_1,x_2]\cap [y_1,y_2]]}$$

这个问题可以被看作是二维平面上的有界区域选择问题（Bounded Planar Region Selection Problem），目标是在一个有界区域内选取一个子区域，使得子区域能够覆盖指定数量的点。

解法

这个问题可以通过枚举目标矩形的左下角和右上角坐标来解决。对于每个可能的子矩形，我们可以计算矩形内部包含的点数 $cnt$，如果 $cnt\ge k$，则更新当前的最大面积。

具体地，我们可以通过扫描线算法（Sweep Line Algorithm）来计算每个可能的子矩形包含的点数。具体来说，我们可以先按照 $x$ 坐标排序，然后维护一个垂直于 $x$ 轴的扫描线，从左往右扫描平面。每当扫描线经过一个坐标为 $x_i$ 的点时，我们可以统计该点以及与扫描线相交的矩形内包含的点数，从而得到当前矩形内总共包含的点数 $cnt$。

关于矩形包含点数的计算，我们可以使用线段树（Segment Tree）来实现，线段树的每个节点表示一个矩形，节点的左右儿子分别表示该矩形的左半部分和右半部分。使用线段树的一个优势是可以在 $\log n$ 时间内处理区间并（Interval Merge）操作，从而支持查询一个指定矩形内包含的点数，以及在扫描线向右移动时，快速更新线段树的节点信息。

代码实现

以下是使用 Python 3 实现的代码片段，其中使用了扫描线算法和线段树来实现：

class SegmentTree:
    def __init__(self, l, r):
        self.l = l
        self.r = r
        self.tag = 0
        self.cnt = 0
        self.left = None
        self.right = None

    def update(self):
        self.cnt = 0
        if self.left:
            self.cnt += self.left.cnt
        if self.right:
            self.cnt += self.right.cnt

    def pushdown(self):
        if self.tag:
            if not self.left:
                self.left = SegmentTree(self.l, (self.l + self.r) // 2)
            if not self.right:
                self.right = SegmentTree((self.l + self.r) // 2, self.r)
            self.left.tag += self.tag
            self.right.tag += self.tag
            self.left.cnt += self.tag * (self.left.r - self.left.l)
            self.right.cnt += self.tag * (self.right.r - self.right.l)
            self.tag = 0

    def modify(self, x, y, v):
        if x >= y or self.l >= y or self.r <= x:
            return
        if x <= self.l and self.r <= y:
            self.cnt += (self.r - self.l) * v
            self.tag += v
            return
        self.pushdown()
        if self.left:
            self.left.modify(x, y, v)
        if self.right:
            self.right.modify(x, y, v)
        self.update()

    def query(self, x, y):
        if x >= y or self.l >= y or self.r <= x:
            return 0
        if x <= self.l and self.r <= y:
            return self.cnt
        self.pushdown()
        ret = 0
        if self.left:
            ret += self.left.query(x, y)
        if self.right:
            ret += self.right.query(x, y)
        self.update()
        return ret


def max_area_with_k_points(points, k):
    sorted_points = sorted(points, key=lambda p: p[0])
    tree = SegmentTree(0, len(sorted_points))
    l = 0
    cnt = 0
    ans = 0
    for r, p in enumerate(sorted_points):
        tree.modify(0, r, 1)
        cnt += tree.query(l, r + 1)
        while cnt >= k:
            ans = max(ans, (p[0] - sorted_points[l][0]) * (tree.query(l, r + 1) - tree.query(l, l + 1)))
            tree.modify(0, l, -1)
            cnt -= (r - l + 1) - (tree.query(l + 1, r + 1) - tree.query(l + 1, l + 2))
            l += 1
    return ans

points = [(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)]
k = 5
print(max_area_with_k_points(points, k))  # Output: 6

在上述代码中，我们首先对所有点按照 $x$ 坐标从小到大排序，然后从左往右扫描平面。每当扫描到一个新的点时，我们向线段树中插入该点，并查询左边界到该点之间已经插入的点的数量。如果已插入的点的数量 $cnt\ge k$，则尝试更新当前最大的矩形面积。由于此时该矩形的右边界已经确定，因此我们只需要不断向右移动左边界，直到 $cnt<k$，然后更新答案即可。由于代码中使用了线段树，因此时间复杂度为 $O(n\log n)$。