打印 01 背包中的物品

在动态规划中，01 背包是一个非常基本的问题，它的目标是如何让一个背包装下最有价值的物品。假设我们有一个背包可以容纳一定重量的物品，现在有 n 个物品，每个物品有对应的重量和价值，请问我们应该如何选择物品来保证背包里装入的物品具有最高的价值？

解题思路

01 背包问题可以使用动态规划来解决，在动态规划中，我们需要设计一个状态转移方程来记录每一步的最优解。具体来说，我们可以使用一个二维数组 dp[i][j] 来记录在前 i 个物品中，选择总重量不超过 j 的情况下可以取得的最大价值。

状态转移方程如下所示：

if (j >= weight[i])
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
else
    dp[i][j] = dp[i-1][j];

其中，weight[i] 表示第 i 个物品的重量，value[i] 表示第 i 个物品的价值，j 表示当前背包的容量。

在求解 dp[i][j] 的时候，我们需要有一个变量记录每一次取的物品是什么，以便打印出选择的具体物品列表。我们可以使用一个一维数组 path[j]（数组下标表示当前背包容量），记录目前被选择的物品。

代码实现

下面给出在 Python 中实现打印 01 背包中的物品的示例代码。

def print_items(n, w, weight, value, dp):
    path = [0] * (w + 1)
    for i in range(n, 0, -1):
        if dp[i][w] == dp[i-1][w]:
            continue
        else:
            path[weight[i]] = 1
            w -= weight[i]
        
    for i in range(1, w+1):
        if path[i] == 1:
            print(f"item {i} is selected")

其中，n 表示物品的数量，w 表示背包的容量，weight 和 value 分别表示物品的重量和价值，dp 表示动态规划时记录最优解的二维数组。

在 print_items 函数中，我们先初始化一个一维数组 path，并将其全部置为 0。接着从 n 开始逆序遍历，如果 dp[i][w] == dp[i-1][w]，则说明第 i 个物品没有被选择，直接跳过。否则说明第 i 个物品被选择，将 path 数组的 weight[i] 置为 1。最后遍历 path 数组，如果发现 path[i] == 1，就打印出 item i 被选择。

总结

本文介绍了如何动态规划解决 01 背包问题，并演示了如何打印出选择其中的物品。需要注意的是，在记录每一步的最优解时，需要额外记录被选择的物品。在实际应用中，动态规划已经被广泛应用，它不仅仅可以用来求解背包问题，还可以解决各种不同类型的问题，如字符串匹配、图论等。