01背包使用分支定界

简介

01背包是一个经典的动态规划问题，它用途非常广泛。使用动态规划解决此问题时，需要构造一张二维表格，并用递推的方式填充表格。但是，这种方式可能会消耗大量的时间和空间。分支定界是另一种解决此问题的方法，它可以在更短的时间内找到最优解。

分支定界

分支定界是一种搜索算法，它用于在整个解空间中查找最优解。分支定界算法的基本思想是：

1. 构造一个决策树，其中每个节点表示一个状态。
2. 针对每个节点，计算一个上界和一个下界。
3. 对于每个节点，先扩展上界较小的子节点。如果某个节点的下界比当前最优解还要小，则不需要扩展该节点的子节点。
4. 每次找到一个满足限制条件的解时，更新最优解。

在01背包问题中，每个节点表示一个状态，其中状态包含当前的总重量和总价值。针对每个节点，可以计算一个上界和一个下界。上界是指通过装入部分物品可以获得的最大价值，下界是指通过不装入任何物品可以获得的最小价值。如果某个节点的上界比当前最优解还要小，那么不需要扩展该节点的子节点。

代码实现

以下是使用分支定界解决01背包问题的Python代码实现：

def branch_and_bound(n, max_w, w, v):
    best_v = -1
    node = Node(-1, 0, 0, 0)
    heap = [node]
    while len(heap) > 0:
        node = heapq.heappop(heap)
        if node.bound > best_v:
            if node.i == n - 1:
                best_v = node.value
                continue
            left = Node(node.i + 1, node.w + w[node.i + 1], node.value + v[node.i + 1], node)
            right = Node(node.i + 1, node.w, node.value, node)
            if left.w <= max_w:
                left.bound = bound(left, n, max_w, w, v)
                if left.bound > best_v:
                    heapq.heappush(heap, left)
            right.bound = bound(right, n, max_w, w, v)
            if right.bound > best_v:
                heapq.heappush(heap, right)
    return best_v

def bound(node, n, max_w, w, v):
    if node.w > max_w:
        return 0
    else:
        bound = node.value
        j = node.i + 1
        tot_w = node.w
        while j < n and tot_w + w[j] <= max_w:
            bound += v[j]
            tot_w += w[j]
            j += 1
        if j < n:
            bound += (max_w - tot_w) * (v[j] / w[j])
        return bound

class Node:
    def __init__(self, i, w, value, parent):
        self.i = i
        self.w = w
        self.value = value
        self.bound = 0
        self.parent = parent

    def __lt__(self, other):
        return self.bound > other.bound

其中，Node类表示状态节点，bound函数用于计算上界，branch_and_bound函数是分支定界的入口函数。

总结

分支定界是一种高效的算法，可以在更短的时间内找到最优解。它很适合解决01背包问题和其他优化问题。通过分支定界，可以有效地控制搜索空间的规模，减少搜索时间和空间。