01背包使用最低成本分支和边界

简介

01背包问题是一种经典的动态规划问题，给定一个背包可以装载一定重量的物品，现有一系列物品集合，每件物品有权重和价值，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品使得总价值最大。

最低成本分支（LCB）和边界（Bound）是求解01背包问题的关键。LCB是指选择一项物品后剩余物品中能达到的最大价值，边界是指在背包容量允许的情况下，能达到的最大价值。

代码实现

下面是求解01背包问题的Python代码：

def knapsack(capacity, items):
    # 初始化DP数组
    n = len(items)
    dp = [[0 for j in range(capacity+1)] for i in range(n+1)]
    
    # 计算LCB和Bound
    bound = [0 for i in range(n)]
    lcb = [0 for i in range(n)]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        # 剩余物品价值之和
        bound[i] = bound[i+1] + items[i][1]
        # 剩余物品能填满的容量
        lcb[i] = lcb[i+1] + items[i][0]
    
    # 填充DP数组
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, capacity+1):
            # 如果当前物品能装进背包
            if items[i-1][0] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-items[i-1][0]]+items[i-1][1])
            else:
                # 无法装进背包，使用LCB更新DP数组
                if lcb[i-1] <= j:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]+bound[i-1])
    
    return dp[n][capacity]

分析

在上述代码中，首先初始化了一个二维数组dp用于计算所选物品的最大价值。然后，将lcb和bound数组用于计算最低成本和边界。最后，通过循环和DP数组的更新来求解01背包问题。

在处理无法装进背包的物品时，使用LCB更新DP数组是01背包问题的关键点之一。这可以避免计算不必要的组合，进而优化了算法的效率。

总结

最低成本分支和边界是求解01背包问题的重要步骤，它们能有效减少计算量，提高算法效率。在实际开发中，程序员可以根据需求实现不同版本的算法，以满足不同的应用场景。