01 背包使用最低成本分支和边界

简介

01背包问题是指在给定容量的情况下，从一组物品中选择几个物品，使得每个物品仅能选择一次，并且这些物品的价值之和最大。

使用最低成本分支和边界的01背包算法可以先对物品按照单位重量的价值进行排序，然后按照价值高低依次放入背包中，直到背包没有剩余空间。当物品可以被分割的时候，可以使用贪心算法，而当物品不能被分割的时候，可以使用DP算法。

算法流程

1. 将物品按照单位重量的价值降序排列
2. 遍历排好序的物品，计算当前物品可以放置的最大数量
   • 物品可以被分割：尽可能地将背包装满
   • 物品不能被分割：只能放入一个
3. 统计背包中所有物品的总价值

最低成本分支和边界

1. 分支：当前物品可以被分割，将其全部放入背包中并向下递归
2. 边界：当前物品不能被分割，只能放入一个，然后将背包剩余空间的价值最高的物品放入背包中，并向下递归

代码示例

def knapsack01(items, capacity):
    # 根据单位重量的价值对物品排序
    sorted_items = sorted(items, key=lambda x: x[0], reverse=True)

    # 递归函数，返回当前背包中物品的总价值
    def helper(idx, remain_cap):
        if idx == len(sorted_items):
            return 0

        weight, value, can_split = sorted_items[idx]

        if can_split:
            # 物品可以被分割
            max_num = min(remain_cap // weight, 1 + (remain_cap - weight) // weight)
            max_value = 0
            for n in range(max_num + 1):
                cur_value = n * value + helper(idx + 1, remain_cap - n * weight)
                max_value = max(max_value, cur_value)
            return max_value
        else:
            # 物品不能被分割
            if weight <= remain_cap:
                return value + helper(idx + 1, remain_cap - weight)
            else:
                # 当前物品不能放入背包，放入一个价值最高的物品
                max_value = 0
                for w, v, c in sorted_items[idx + 1:]:
                    if remain_cap >= w:
                        cur_value = v + helper(idx + 1, remain_cap - w)
                        max_value = max(max_value, cur_value)
                return max_value

    return helper(0, capacity)

总结

使用最低成本分支和边界的01背包算法可以在一定程度上提高程序效率，但也需要考虑背包容量比较小的情况，因为当背包容量较小时，使用分支搜索算法可能会降低程序效率。因此，在实际应用中需要对算法进行适当调整，以达到更好的效果。