门| GATE-CS-2017（套装2）|第 39 题

这是一道计算机科学领域有趣的算法题目，涉及到矩阵，动态规划和最短路径算法的应用。

题目描述

给定一个由1和0组成的矩阵，1代表能通过门，0代表不能通过门。你的任务是找到从左上角出发，通过尽可能多的门，到达右下角的最短路径。假设你从每个1出发都可以到达其他所有1。

例如：

1101
0001
1101
0111
1101

在这个例子中，从左上角到右下角的最短路径经过3个门，路径为(0,0) -> (0, 2) -> (1, 2) -> (4, 2) -> (4, 4)。这里用元组(i,j)表示矩阵中第i行、第j列的位置。

解题思路

该问题可以使用动态规划（DP）来解决。具体的思路为：

1. 定义状态：$f(i,j)$表示从$(0,0)$到位置$(i,j)$的最短路径。
2. 定义状态转移方程：$f(i,j)=\min\limits_{(x,y)\text{和}(i,j)\text{之间有门}}\left{f(x,y)+1\right}$，表示从$(0,0)$到$(i,j)$的最短路径为从能到达$(i,j)$的位置中选择距离最短的一个，加上从前一个位置到这个位置的路径长度1。
3. 边界条件：$f(0,0)=0$，$f(i,j)=+\infty$，如果$(i,j)$处是0。

一个可行的算法如下：

def shortest_path(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[float('inf') for j in range(cols)] for i in range(rows)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = float('inf')
            else:
                if i-1 >= 0 and matrix[i-1][j] == 1:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + 1)
                if j-1 >= 0 and matrix[i][j-1] == 1:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + 1)
    return dp[rows-1][cols-1]

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(nm)$，其中$n$和$m$分别为矩阵的行数和列数。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为$O(nm)$，即需要一个二维数组来存储中间状态。

总结

这道题目涉及到了动态规划的思想和最短路径算法的应用，需要掌握动态规划的基本思想以及最短路径算法（如BFS、Dijkstra等）的基本原理。