计算总和等于完美立方体的所有三元组

在数学中，一个完美立方体是一个整数立方体，其所有对角线的长度都是整数。而一个三元组则是由三个元素组成的数组，可以用来表示三维空间中的一个点。

本题的目标是找到所有的三元组，使得它们的元素之和等于一个完美立方体的体积。

解题思路

我们可以固定两个元素，然后使用一个循环来搜索第三个元素，从而找到所有满足条件的三元组。

具体而言，我们可以考虑枚举 $a$ 和 $b$，然后计算 $c=\sqrt[3]{a^3+b^3+V}$，其中 $V$ 是完美立方体的体积。如果 $c$ 是整数，那么我们就找到了一个合法的三元组。注意因为 $a,b$ 可能重复出现，因此我们只需要考虑 $a \leq b$ 的情况。

为了避免重复，我们还需要保证 $a \leq \sqrt[3]{V}$。这是因为如果 $a > \sqrt[3]{V}$，那么 $c$ 一定小于 $a$，不满足 $a \leq b \leq c$ 的要求。

实现时，我们可以预处理出完美立方体的体积，并使用一个哈希表存储已经找到的三元组，避免重复。

代码实现

下面是 Python 3 的代码实现，时间复杂度为 $O(V^{2/3} \log V)$，其中 $V$ 是完美立方体的体积。代码中使用了 collections.defaultdict 来实现哈希表。

import collections


def perfect_cube(num):
    """判断一个数是否是完全立方数"""
    return int(num ** (1 / 3) + 0.5) ** 3 == num


V = 100 ** 3  # 完美立方体的体积
ans = collections.defaultdict(list)

for a in range(1, int(V ** (1 / 3)) + 1):
    for b in range(a, int(V ** (1 / 3)) + 1):
        val = a ** 3 + b ** 3 + V
        if perfect_cube(val):
            c = int(val ** (1 / 3) + 0.5)
            ans[c].append((a, b, c))

for c, triplets in ans.items():
    print(f"三元组之和为 {V}，元素分别为")
    for triplet in triplets:
        print(triplet)

总结

本题考察了数学方法和编程技巧的结合。需要注意的地方包括枚举顺序、预处理和去重。