当一个数组元素可以减半时，总和最多为 K 的最大子集

在这个问题中，我们有一个数组和一个整数 K，我们的目标是找出能够将所有元素减半，且总和不超过 K 的最大子集。

解法

基本思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。对于数组中的每个元素，我们可以选择将其保留或者将其减半。我们定义状态 dp[i][j] 表示使用前 i 个元素，总和不超过 j 的最大子集。对于每个元素，我们可以选择将其保留，此时状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i]])

或者将其减半，此时元素的值变成 nums[i]/2，状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i]/2])

我们取两者中的最大值即可。最终的结果是 dp[n][K]，其中 n 是数组的长度。

代码实现

下面是 Python 的代码实现：

def maxSubset(nums, K):
    n = len(nums)
    max_num = max(nums)
    if max_num >= K:
        return 0

    dp = [[0] * (K+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(K+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j-nums[i-1] >= 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i-1]])
            if j-nums[i-1]//2 >= 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i-1]//2]+1)

    return dp[n][K]

复杂度分析

该算法的时间复杂度是 $O(nK)$，空间复杂度也是 $O(nK)$。这里的 $n$ 是数组的长度，$K$ 是目标总和。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何使用动态规划解决当一个数组元素可以减半时，总和最多为 K 的最大子集问题。我们首先定义了状态，然后使用状态转移方程来计算最终结果。最终算法的时间复杂度是 $O(nK)$，空间复杂度也是 $O(nK)$。