无向图中的最大成本路径，使得没有边连续访问两次

在无向图中找出一条最大成本路径，使得路径上没有边被连续访问两次，是一个经典的图论问题。这个问题也叫做无向图中的最大独立路径问题。

问题描述

给定一个无向图 G=(V,E)，图中每条边 (u,v) 有一个权值 w(u,v)，要求在图 G 中找出一条路径 P=(v1,v2, ..., vn)，使得路径上的权值最大，且路径上没有边被连续访问两次。

解决方案

基本思路

• 暴力枚举，枚举所有的路径，时间复杂度 O(2^n)；
• 动态规划（DP），时间复杂度 O(n^2 * 2^n)；
• 深度优先搜索（DFS），时间复杂度取决于搜索区域，但是一般都能在多项式时间内解决。

动态规划

• 状态定义：设 f[i][j] 表示从 i 节点出发，到当前节点 j，这条路径的最大权值。
• 状态转移方程：f[i][j]=max(f[k][i]+w[k][j])，其中 k 是 j 的前一个访问节点，w[k][j] 表示边 (k,j) 的权值。
• 最终结果：max{f[i][j]}。
• 时间复杂度： O(n^2 * 2^n)。

深度优先搜索

• 基本思路：从图中任意一个节点出发，遍历所有的路径，找出一个路径权值最大的路径，且这个路径上没有边被连续访问两次。
• 时间复杂度最坏情况：O(2^n)，但是实际情况往往远远没有这么差，实际算法的运行时间取决于搜索树的大小。
• 算法流程： 1.从任意一个节点开始，选择一个可达节点，往下搜索； 2.如果下一个节点已经访问过，那么不能直接到达这个节点，需要找到下一个可以访问的节点； 3.记录访问过的节点和当前路径上的权值，更新最大路径权值； 4.回溯到上一个节点，尝试其他路线，一直到遍历所有可能的路径。

代码实现

动态规划

def maxIndependentPath(G, n):
    dp = [[0] * (1 << n) for i in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][1 << i] = 1

    for i in range(1, 1 << n):
        for j in range(n):
            if (i & (1 << j)) > 0:
                for k in range(n):
                    if (i & (1 << k)) > 0:
                        if G[k][j] != 0:
                            dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[k][i ^ (1 << j)] + G[k][j])

    res = 0
    for i in range(n):
        res = max(res, dp[i][(1 << n) - 1])
    return res

深度优先搜索

def maxIndependentPath_DFS(G, n):
    def dfs(u, vis, res):
        nonlocal ret
        for v in range(n):
            if G[u][v] and not vis[v]:
                vis[v] = True
                dfs(v, vis, res + G[u][v])
                vis[v] = False
        ret = max(ret, res)

    ret = 0
    for i in range(n):
        vis = [False] * n
        vis[i] = True
        dfs(i, vis, 0)

    return ret

总结

无向图中的最大成本路径，使得没有边连续访问两次，是一个比较难的问题，在算法设计中需要用到动态规划、深度优先搜索等算法思路。其中，动态规划的时间复杂度比较高，但是性能比较稳定，适用于节点数不太多，但是边数比较大的问题；深度优先搜索的性能取决于问题规模，虽然最坏情况下时间复杂度比较高，但是实际情况往往远远没有那么差，适用于节点数较少，但是边数比较小的问题。