最大子序列总和，使得没有 K 个元素是连续的

在算法中，最大子序列和问题是一个经典的问题。给定一个整数数组，我们需要找到一个具有最大总和的连续子数组。然而，对于一些变化，我们需要寻找另外一种方法，以找到最大子序列和，使得没有 K 个元素是连续的。

算法描述

• 定义 dp[i][j] 表示以第 i 个元素结尾，不超过 j 个元素的最大子序列和。

• 初始化边界，即 dp[i][1]=nums[i]。

• 对于 dp[i][j]，可以看作是 dp[i-1][j]+nums[i] 或者 nums[i]，取两者的较大值。

• 最终的结果即为 $\max{{dp[i][j]}}(i≤n,j≤n,k+1≤j)$，其中 $n$ 表示数组长度，$k$ 表示连续元素的个数。

def max_subsequence_sum(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = nums[i - 1]
    res = float('-inf')
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(2, n + 1):
            if j > i + k:
                break
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], 0) + nums[i - 1]
            res = max(res, dp[i][j])
    return res

时间复杂度为 $O(n^3)$，由于包含三重循环。因此，可以考虑优化算法。

优化算法

在算法描述中，可以看出，每个状态依赖于其上一个状态，并且只依赖于上一个状态，即 $dp[i][j]$ 只依赖于 $dp[i-1][j-1]$ 和 $dp[i][j-1]$。因此，可以采用滚动数组的方式，将二维数组转换为一维数组，从而减少空间复杂度。在代码实现中，只需将第二维循环从前往后循环，即可达到滚动数组的效果。

另外，在计算过程中，可以动态维护前缀和，从而减少不必要的计算。

优化后的代码如下：

def max_subsequence_sum_v2(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [0] * (n + 1)
    res = float('-inf')
    for i in range(1, n + 1):
        s = 0
        for j in range(1, i + 1):
            dp[j], s = max(dp[j - 1], s) + nums[i - 1],0 if nums[i - 1] < 0 else s + nums[i - 1]
            if j >= k + 1:
                dp[j] -= nums[i - k - 1]
            res = max(res, dp[j])
    return res

时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$，比原来的算法有了大幅度的提升。

总结

本文提供了两种算法来解决最大子序列和问题，使其不超过 k 个元素连续。其中第一种算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$，第二种算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。在实际应用中，建议采用第二种算法，以获得更好的性能表现。