无向图中所有连通分量的最大子数组和

问题描述

给定一张无向图，每个节点上有一个整数权值，你需要求出所有连通分量中权值和最大的连通分量的权值和。

解决方案

要求图中所有连通分量的最大子数组和，首先需要求出图中所有连通分量。这个问题可以通过深度优先搜索（DFS）实现。

我们可以遍历每一个节点，对于未被遍历过的节点，对它进行DFS搜索，同时将DFS遍历过的节点标记为已遍历，将访问到的节点加入当前连通分量中。最后得到所有连通分量。

而连通分量的最大子数组和问题，可以应用动态规划的思想，假设dp[i]表示以第i个节点为结尾的连通分量的最大子数组和，则状态转移方程为：

$$ dp[i]= \begin{cases} weights[i]& i=0\ max(dp[k],0)+weights[i]& i\neq0 \end{cases} $$

其中，weights表示节点权值，k是节点i在当前连通分量中的前一个节点。

最终，我们可以遍历所有连通分量的dp数组，找到最大值作为返回结果。

代码实现

def dfs(node, visited, adjacency_list, connected_component):
    visited[node] = True
    connected_component.add(node)
    for neighbor in adjacency_list[node]:
        if not visited[neighbor]:
            dfs(neighbor, visited, adjacency_list, connected_component)

def max_subarray_sum(weights):
    n = len(weights)
    dp = [0] * n
    dp[0] = weights[0]

    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1], 0) + weights[i]

    return max(dp)

def max_connected_component_sum(adjacency_list, weights):
    n = len(weights)
    visited = [False] * n
    max_sum = float('-inf')

    for node in range(n):
        if not visited[node]:
            connected_component = set()
            dfs(node, visited, adjacency_list, connected_component)
            component_weights = [weights[node] for node in connected_component]
            max_sum = max(max_sum, max_subarray_sum(component_weights))

    return max_sum

复杂度分析

时间复杂度

对于图中的每一个节点，我们都遍历一次，因此时间复杂度为$O(n)$，其中$n$是图中节点数。如果使用基于快排的排序算法，那么时间复杂度会被排序的时间支配，为$O(nlogn)$。

空间复杂度

对于visited数组和dp数组，它们的长度都为$n$，因此空间复杂度为$O(n)$。

示例

>>> adjacency_list = [[1],[0,2,4],[1,3,4],[2,4],[1,2,3]]
>>> weights = [1,2,3,-1,5]
>>> max_connected_component_sum(adjacency_list, weights)
9

这个示例中，图如下所示：

0----1----2----3
     |    |
     4----

其中权值和最大的连通分量是1-2-3，权值和为$2+3-1=4$。而2-3-4的权值和为$3-1+5=7$，1-4的权值和为$1+5=6$。因此，所有连通分量的权值和最大的连通分量的权值和为9。