数组计数

该算法的主题是给定大小为 N 的数组，其中元素在 [0, (2^K)-1] 范围内具有最大总和 & 按位与 0。

算法介绍

假设我们需要计算位长为 K 的二进制中所有数的按位与结果。例如，对于 K = 3，按位与结果为 0b000。

首先，我们可以注意到，对于高位而言，只要它们的二进制位不同，结果的对应位就是 0，因为一旦有一个二进制位为 0，按位与结果就不能再为 1。

接下来考虑低位的情况。我们将上述输入按照二进制位的最高位（其中 0 为最低位，K - 1 为最高位）进行分类。对于相同的最高位，我们仍然只需要关注较低的几位。

我们想找到一个较小的数 M，使得每一位上在输入数组中都有不少于 M 个数字的这一位是 1。这里的“不少于”指的是大于等于，因为如果有多个值出现的次数是 M，那么输出的结果还是 M。Imagine that we could find such an "M" for each position, then the and-operation would give us a zero for all the positions where M is 0.

对于所有 M 的值，它们都具有一个共同的特性：它们在按位与得到的结果中保留了位了。M 是唯一具有这个属性的数字，因此，最终的按位与结果将是 M。

算法实现

对于输入数组我们需要进行如下处理：

1. 将输入数组按照其二进制位的最高位进行分类。
2. 对于每个类别，寻找一个 M 值，使得该类别中有不少于 M 个数字在按位与结果中保留该类别的所有位。
3. 对于所有 M 值，使用它们计算出最终结果。

def bitAnd(N, K):
    """
    :type N: int
    :type K: int
    :rtype: int
    """
    res = 0
    for i in range(K):
        count = 0
        for j in range(1, N+1):
            if j & (1 << (K-i-1)):
                count += 1
        if count >= N-count:
            res |= 1 << (K-i-1)
    return res

算法分析

该算法的时间复杂度为 $O(KN)$ ，其中 $K$ 是二进制位数，$N$ 是输入数组的大小。

空间复杂度为 $O(1)$。

该算法有一个很好的特点，即它并不需要每个元素的真实值，而只需要其按位结果。这意味着，即使是不能在内存中完全存储的大数组也可以被处理。因此，该算法非常适合大数据集。

总结

本文介绍了一个针对输入数组的按位与操作的算法，并给出了该算法的详细介绍和实现。我们还分析了该算法的时间和空间复杂度，并讨论了它的应用场景。该算法实用性较强，可以在大规模数据处理中得到广泛应用。