📅  最后修改于: 2023-12-03 15:42:02.540000             🧑  作者: Mango
假设存在一个 $m \times n$ 的矩阵,矩阵中的每个元素都是 0 或 1。现在你可以放置 K 个 1 到矩阵中。你的目的是通过这些 1 来最小化从矩阵左上角到右下角的唯一路径数。
这是一个典型的最短路问题,可以使用 Dijkstra 算法进行解决。具体来说,我们可以把矩阵看做一个有向图,每个格子看做一个顶点,相邻的格子之间如果都是 1 那么它们之间连一条长度为 1 的边,否则不连边。这样一来,我们就得到了一个有向无权图,可以使用 Dijkstra 算法来求从左上角到右下角的最短路径。只不过这个算法的时间复杂度是 $O(mn \log(mn))$,有一定的局限性。
更好的做法是使用二分答案来优化,具体可以用双指针进行实现。我们二分路径的长度,在此长度限制下,使用双指针在矩阵中搜索是否存在 K 个 1,如果存在,那么当前路径长度可行,我们向短路径搜索;否则当前路径长度不可行,我们向长路径搜索。直到最后找到最短路径或者最长路径时,就可以得到最终的答案。
下面给出这个算法的详细实现:
from typing import List
class Solution:
def minPath(self, matrix: List[List[int]], K: int) -> int:
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
left, right = 0, m+n-2
def check(mid: int) -> bool:
cnt = 0
i, j = 0, 0
while i < m and j < n:
if matrix[i][j] == 0:
if i+j > mid:
return False
j += 1
else:
if i+j > mid:
j = mid-i
cnt += 1
i += 1
j += 1
return cnt <= K
while left < right:
mid = (left+right) // 2
if check(mid):
right = mid
else:
left = mid+1
return left
其中,函数 check
是核心部分,用来检查当前路径长度在二分范围内是否可行。它的实现思路就是在矩阵中使用双指针依次搜索,如果遇到了 0,就继续向右搜索;如果遇到了 1,就看当前的路径长度是否小于等于中间值,如果是,那么路径长度可行,cnt 加 1,继续向右搜索;如果否,那么路径长度不可行,返回 False。最后比较 cnt 和 K 的大小关系即可得到结果。
这道题目考察了对最短路问题的理解和二分答案的运用,是一道较为综合性的题目。对于算法的时间复杂度分析和代码实现也需要一定的功力,但是这只是编程学习中的一小部分,希望大家在多练习中不断提升自己的编程技能。