通过放置K 1来最小化从矩阵的左上到右下的唯一路径的数量

问题描述

给定一个大小为 nxm 的矩阵，每个位置上要么是 0 要么是 1。从左上角开始，只能向下或向右走，最终到达右下角的位置。现在可以在其中放置 K 个 1，问在最优情况下，路径的最小长度是多少。

思路

首先考虑没有放置 1 的情况。此时，我们可以使用动态规划的方法来解决问题。设 dp[i][j] 表示从起点到 (i,j) 的最短路径长度，则有：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

其中 matrix[i][j] 表示 (i,j) 位置上的数字。这个动态规划可以用递推的形式实现，具体实现方式参见下面的代码。

接下来考虑放置 1 的情况。可以发现，每次放置 1 后，路径的长度至少会增加 1，因此可以枚举放置的 1 的位置，然后计算在这个位置放置 1 后的最短路径长度。具体实现方式参见下面的代码。

时间复杂度

不考虑枚举放置 1 的位置的时间复杂度为 O(nm)；考虑枚举放置 1 的位置后，每次计算最短路径需要 O(nm) 的时间，总时间复杂度为 O(knm)。

代码实现

def get_shortest_path(matrix, k):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[float('inf')] * m for _ in range(n)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, m):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]
    ans = dp[-1][-1]
    for i in range(k):
        min_val = float('inf')
        for x in range(n):
            for y in range(m):
                if matrix[x][y] == 0:
                    matrix[x][y] = 1
                    dp2 = [[float('inf')] * m for _ in range(n)]
                    dp2[0][0] = matrix[0][0]
                    for i in range(1, n):
                        dp2[i][0] = dp2[i-1][0] + matrix[i][0]
                    for j in range(1, m):
                        dp2[0][j] = dp2[0][j-1] + matrix[0][j]
                    for i in range(1, n):
                        for j in range(1, m):
                            dp2[i][j] = min(dp2[i-1][j], dp2[i][j-1]) + matrix[i][j]
                    min_val = min(min_val, dp2[-1][-1])
                    matrix[x][y] = 0
        ans = min(ans, min_val + i + 1)
    return ans