通过放置K 1来最小化从矩阵的左上到右下的唯一路径的数量

本篇文章将介绍如何通过在矩阵中放置数字1来最小化从左上角到右下角的唯一路径的数量。我们设这个矩阵拥有m行和n列（m,n均大于等于1），其中每个格子上的数字表示该格子能够提供贡献的数量。

我们通过以下步骤来完成该问题：

1. 计算未放置数字1的情况下的唯一路径数量
2. 寻找最小化唯一路径数量的放置方案
3. 计算放置数字1之后的唯一路径数量

计算未放置数字1的情况下的唯一路径数量

首先，在未放置数字1的情况下，唯一路径的数量可以通过递推得到。具体来说，设$dp[i][j]$表示从起点$(1,1)$到点$(i,j)$的唯一路径数量，则有：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] $$

根据递推式可以计算出所有的$dp[i][j]$值。

寻找最小化唯一路径数量的放置方案

接下来，我们需要通过寻找最小化唯一路径数量的放置方案来使唯一路径数量最小。我们将在矩阵的某个位置放置数字1，这个数字的作用是可以将上面的一个格子或者左边的一个格子所提供的贡献值加倍。

找到最优解的一个常见方法是使用动态规划。具体来说，设$dp[i][j][k]$表示从起点$(1,1)$到点$(i,j)$，并且矩阵中放置了$k$个数字1的最小唯一路径数量，则有：

$$ dp[i][j][k] = \min(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k]) + m[i][j] $$

$$ dp[i][j][k] = \min(dp[i-1][j][k-1] + 2\times m[i][j], dp[i][j-1][k-1] + 2\times m[i][j], dp[i][j][k]) $$

其中$m[i][j]$表示矩阵中第$i$行第$j$列的贡献值。

第一个递推式表示不放置数字1的情况，第二个递推式表示在放置数字1的情况下，该数字可以产生两倍的贡献值。

计算放置数字1之后的唯一路径数量

最终的问题是计算在放置数字1之后的唯一路径数量。为此，我们可以对矩阵进行一次深度优先遍历（DFS）。

具体来说，我们从起点$(1,1)$开始，每当我们到达一个格子$(i,j)$时，使用洪水填充算法（flood-fill algorithm）将数字1的贡献值传递给和它相邻的格子。然后，我们在四个方向（上、下、左、右）中继续递归搜索。

在所有的点都被访问完成之后，右下角的格子的值即为放置数字1后的唯一路径数量。

总结

本文介绍了如何通过放置数字1来最小化从矩阵的左上到右下的唯一路径的数量。通过动态规划，我们可以找到最优解，并使用DFS计算出放置数字1之后的唯一路径数量。