0-1 背包问题 | DP-10

介绍

0-1 背包问题是一个经典的动态规划问题，它的解法在多种算法竞赛中都有所涉及。给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，可以选择将其中若干个物品装入背包，但是背包有一个限制容量，不能超过这个容量。要求在选取物品的不同方案中，价值总和最大。

思路

我们可以使用动态规划的思想解决 0-1 背包问题。动态规划是一种将复杂问题分成小问题来解决的方法。在 0-1 背包问题中，我们可以将大问题拆成小问题：对于每一个物品，我们可以将其选中或不选，然后利用前面的物品的结果进行推导。这种思路可以通过以下的状态定义实现。

定义一个二维的数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 件物品，在背包容量为 $j$ 的情况下的最大价值。

接着，我们可以得到递推公式：

if weight[i] > j:
    dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])

其中 $weight[i]$ 和 $value[i]$ 分别表示第 $i$ 件物品的重量和价值。

我们可以使用以下的图形来更好地理解这个递推公式。

       weight[i]  j
           |      |
           v      v
dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]        dp[i-1][j]
           |      |
           V      V
             dp[i][j]

最后，dp[n][W] 就是我们的答案，其中 n 表示物品的个数，W 表示背包可容纳的最大重量。

代码

以下是对上述思路进行翻译后的 Python 代码。请注意，代码中使用了一些 Python 的特殊语法，例如 List Comprehension 和 List 翻转，这里不再赘述。

def knapsack(weight, value, W):
    n = len(weight)
    dp = [[0 for i in range(W+1)] for j in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, W+1):
            if weight[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
    return dp[n][W]

总结

0-1 背包问题是一个经典的动态规划问题，同时也是算法竞赛中常见的一种题目。我们可以使用动态规划的思想来解决这个问题，通过状态定义和递推公式可以快速推导出一个可用的解法。最后，我们要注意一些 Python 的特殊语法，例如 List Comprehension 和 List 翻转。