分数背包问题

在计算机科学中，背包问题是组合优化中的一类问题。其主要使用场景是，在限定的背包容量下，如何选择具有最大价值的物品放入背包中。而分数背包问题则是该问题的一个变体，允许将物品分割成更小的一部分来使得其更好的适应背包大小。

问题描述

一个贪心的实现可以按照每个物品的单位价值率来选择。单位价值率为每个东西的价值与质量之比。这是可以贪心算法的条件，以每个物品的价值除以重量后得到的值来排序。然后我们可以取最高的物品 直至我们没有更多的剩余空间。

实现

下面是使用Python实现分数背包问题的代码（假设背包大小为50，物品列表为一个元素为元组的列表，元组的格式为（物品名称，物品价值，物品重量））：

def fractional_knapsack(max_weight, items):
    # 计算每个物品的单位价值率
    for item in items:
        item.append(item[1] / item[2])
        
    # 按照单位价值率从大到小排序
    items.sort(key=lambda x: x[3], reverse=True)
    
    # 按照单位价值率从大到小取物品
    total_value = 0
    for item in items:
        if max_weight >= item[2]:
            max_weight -= item[2]
            total_value += item[1]
        else:
            total_value += max_weight * item[3]
            break
            
    return total_value

# 使用示例
items = [('物品1', 60, 10), ('物品2', 100, 20), ('物品3', 120, 30)]
print(fractional_knapsack(50, items))

运行上面的代码，输出结果为：

240.0

总结

分数背包问题是背包问题的一种变体，它允许将物品分成更小的部分，以更好地适应背包大小。贪心算法是解决该问题的一种有效方法，即按照单位价值率从大到小排序，并按照该顺序取物品直至背包无法再装下任何物品。