题目描述

有一道单项选择题，共有 $n$ 个选项，其中只有一个是正确的，其他都是错误的。每选错一个，就会扣除 $k$ 分，选对得 $m$ 分，不作答不得分也不扣分。现在给你一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 个字符为 "T" 表示第 $i$ 个选项是正确的，为 "F" 则表示第 $i$ 个选项是错误的。现在问你，至少要有多少分才能达到最高分数。

输入格式

第一行三个正整数 $n,m,k$，表示选项个数，选对得分，扣除分数。

第二行一个长为 $n$，只含 "T" 和 "F" 的字符串，表示答案。

输出格式

一个整数，表示最少得多少分可以达到最高分。

输入样例

10 8 2
TFTFTTTFFT

输出样例

69

题解

思路：

我们考虑一个重要的特征：哪些选项会对成绩产生贡献？

显然，只要有正确答案的选项能选对，就会对成绩有收益增加 $m$ 点。

反过来，如果有错误答案的选项选错了，就会扣除 $k$ 点。

进一步地，仅有正确选项的总得分是 $s_0 = m\times t$，错一个得分是 $s_1= s_0-k$，错两个得分是 $s_2 = s_1 - k$，以此类推，错 $i$ 个得分是 $s_i = s_{i-1}-k$。

那么，如果有 $w$ 个错误选项，至少要选对多少个答案才能达到最大分数呢？

考虑着手从最坏情况开始思考。

• 特殊情况一：所有错项都错了，那么总得分是 $s_w$，谁选都不会得分。

• 特殊情况二：所有项都对了，那么总得分是 $s_0 = m\times t$，每个人都能得到最大分。

因此，最少要有多少分才能达到最高分数，即我们需要求出 $s_0-s_i+(w-i)k$ 的最小值。

这实质上就是一个贪心的策略，我们按照选项正误情况排序，优先选对的选项，再决定保留哪些错项，保留少的才能得到更多分数。

排序以后，我们可以用前缀和或称为快速累加的算法，把时间复杂度降到 $O(n\log n)$（排序算法时间复杂度）。

代码如下：

from typing import List
def min_score(n: int, m: int, k: int, choices: List[str]) -> int:
    choices = [1 if c == 'T' else -k for c in choices]
    
    choices.sort(reverse=True)
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + choices[i]
    
    min_score = -float('inf')
    for i in range(n + 1):
        max_correct = prefix_sum[i] + (n - i) * m
        min_score = max(min_score, max_correct)
    return min_score

print(min_score(10, 8, 2, 'TFTFTTTFFT')) # expect 69

返回markdown格式：

# 门 | 门CS 2011 |第 58 题

## 题目描述

有一道单项选择题，共有 $n$ 个选项，其中只有一个是正确的，其他都是错误的。每选错一个，就会扣除 $k$ 分，选对得 $m$ 分，不作答不得分也不扣分。现在给你一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 个字符为 "T" 表示第 $i$ 个选项是正确的，为 "F" 则表示第 $i$ 个选项是错误的。现在问你，至少要有多少分才能达到最高分数。

## 输入格式

第一行三个正整数 $n,m,k$，表示选项个数，选对得分，扣除分数。

第二行一个长为 $n$，只含 "T" 和 "F" 的字符串，表示答案。

## 输出格式

一个整数，表示最少得多少分可以达到最高分。

## 输入样例

10 8 2 TFTFTTTFFT

## 输出样例

69

## 题解

思路：

我们考虑一个重要的特征：哪些选项会对成绩产生贡献？

显然，只要有正确答案的选项能选对，就会对成绩有收益增加 $m$ 点。

反过来，如果有错误答案的选项选错了，就会扣除 $k$ 点。

进一步地，仅有正确选项的总得分是 $s_0 = m\times t$，错一个得分是 $s_1= s_0-k$，错两个得分是 $s_2 = s_1 - k$，以此类推，错 $i$ 个得分是 $s_i = s_{i-1}-k$。

那么，如果有 $w$ 个错误选项，至少要选对多少个答案才能达到最大分数呢？

考虑着手从最坏情况开始思考。

- 特殊情况一：所有错项都错了，那么总得分是 $s_w$，谁选都不会得分。

- 特殊情况二：所有项都对了，那么总得分是 $s_0 = m\times t$，每个人都能得到最大分。

因此，最少要有多少分才能达到最高分数，即我们需要求出 $s_0-s_i+(w-i)k$ 的最小值。

这实质上就是一个贪心的策略，我们按照选项正误情况排序，优先选对的选项，再决定保留哪些错项，保留少的才能得到更多分数。

排序以后，我们可以用前缀和或称为快速累加的算法，把时间复杂度降到 $O(n\log n)$（排序算法时间复杂度）。

代码如下：

```python
from typing import List
def min_score(n: int, m: int, k: int, choices: List[str]) -> int:
    choices = [1 if c == 'T' else -k for c in choices]
    
    choices.sort(reverse=True)
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + choices[i]
    
    min_score = -float('inf')
    for i in range(n + 1):
        max_correct = prefix_sum[i] + (n - i) * m
        min_score = max(min_score, max_correct)
    return min_score

print(min_score(10, 8, 2, 'TFTFTTTFFT')) # expect 69

时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。