画家的分区问题套装2

简介

画家的分区问题是一个经典的计算几何问题，题目要求给定一个平面上的图形和若干个互不重叠的矩形，求出这些矩形覆盖图形的最小次数。

这个问题在实际中非常有实际意义，比如自动CAD软件中的图形填充就是一个典型的画家的分区问题应用。

本套装是对该问题的一系列算法的总结和归纳，包括贪心算法、动态规划算法、分治算法等，为程序员提供了一些思路和实现的参考。

算法列表

1. 贪心算法
2. 动态规划算法
3. 分治算法

算法详解

1. 贪心算法

算法思路：先将需要填充的矩形按面积从大到小排序，然后从大矩形开始填充，每次逐步缩小需要填充区域，直到所有区域都被覆盖。

时间复杂度：$O(n^2)$

代码实现：

def painter_partitioning_greedy(rectangles, figure):
    rectangles.sort(reverse=True, key=lambda x: x.area())
    canvas = figure.clone()

    num = 0
    while not canvas.is_empty():
        largest_reactangle = rectangles[0]
        area = largest_reactangle.area()

        canvas -= largest_reactangle
        rectangles.pop(0)

        for rectangle in rectangles[:]:
            if rectangle.intersects(largest_reactangle):
                common_area = rectangle.intersection(largest_reactangle).area()
                if common_area >= 0.1 * area:
                    canvas -= rectangle
                    rectangles.remove(rectangle)
        num += 1

    return num

2. 动态规划算法

算法思路：将矩形的左下角和右上角坐标分别成为$x1, y1, x2, y2$，将矩形按照$x1$排序，那么将该矩形进行填充时候的策略就只和前面矩形的填充情况有关，不涉及其他矩形的填充情况，可以考虑使用动态规划。

时间复杂度：$O(n^2)$

代码实现：

def painter_partitioning_dp(rectangles, figure):
    rectangles.sort(key=lambda x: x.rect[0])
    dp = [float('inf')] * (len(rectangles) + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, len(dp)):
        current_figure = rectangles[i - 1]
        current_area = current_figure.area()

        for j in range(i):
            if figure.rectangle_contains(current_figure):
                dp[i] = dp[j] + 1
                break

            if current_figure.x_intersects(rectangles[j]):
                if current_figure.y2 <= rectangles[j].y2:
                    area = current_figure.intersection(rectangles[j]).area()
                    if area >= 0.1 * current_area:
                        dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

    return dp[-1]

3. 分治算法

算法思路：将所需填充区域分成两个部分进行填充。对于两个部分分别进行填充。如果有两个矩形，一个在左部分，一个在右部分，且两者有交集，那么需要选择覆盖这两个矩形的矩形，以此类推，最终获得一个完全覆盖所需填充区域的矩形集合。

时间复杂度：$O(n^2)$

代码实现：

def painter_partitioning_divide_conquer(rectangles, figure):
    if figure.is_empty():
        return 0

    if not rectangles:
        return float('inf')

    left_rectangles = []
    right_rectangles = []

    for rectangle in rectangles:
        if rectangle.rectangle_left_of(figure):
            left_rectangles.append(rectangle)
        elif rectangle.rectangle_right_of(figure):
            right_rectangles.append(rectangle)
        else:
            if rectangle.intersects(figure):
                return painter_partitioning_divide_conquer(left_rectangles, figure.intersection(rectangle)) + painter_partitioning_divide_conquer(right_rectangles, figure.difference(rectangle))

    return min(painter_partitioning_divide_conquer(left_rectangles, figure), painter_partitioning_divide_conquer(right_rectangles, figure))

总结

本套装中分别介绍了三种不同的画家的分区问题算法，分别是贪心算法、动态规划算法和分治算法。它们各自有它们自己的优势和局限性。在实际问题中，需要根据具体情况来选择适合的算法。