Python统计学中的 Yule-Simon 离散分布

简介

Yule-Simon 离散分布是描述离散事件发生频率的概率分布，其中事件的概率与事件之前发生次数的倒数成正比。Yule-Simon 分布常用于描述重复事件的发生情况，例如互联网用户对网页的点击次数、词汇的使用频率等。

概率密度函数 (Probability Density Function, PDF)

Yule-Simon 分布的概率密度函数表示为：

其中，k 表示事件发生的次数，ρ 表示事件发生的概率，C(k;ρ) 是归一化常数。

特点

1. Yule-Simon 分布的参数ρ必须大于 1。
2. Yule-Simon 分布的期望（均值）和方差可以计算出来：
   • 期望 E(X) = ρ / (ρ-1)
   • 方差 Var(X) = ρ / (ρ-1)^2

在实际应用中，Yule-Simon 分布可用于拟合实际数据，需要对数据进行最大似然估计来确定参数ρ的值。

Python中的Yule-Simon分布

在Python中，可以使用Scipy库来计算和绘制Yule-Simon分布。以下是一个简单的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import yulesimon

# 设置参数
rho = 1.5

# 生成随机变量
rv = yulesimon(rho)

# 生成一系列取值
x = np.arange(1, 11)

# 计算概率质量函数（PMF）
pmf = rv.pmf(x)

# 绘制概率质量函数
plt.bar(x, pmf, align='center')
plt.xlabel('k')
plt.ylabel('P(X=k)')
plt.title('Yule-Simon Distribution (ρ={})'.format(rho))
plt.show()

这段代码会生成一个 Yule-Simon 分布的概率质量函数图形。

总结

Yule-Simon 离散分布是用于描述离散事件发生频率的概率分布，其中事件的概率与事件之前发生次数的倒数成正比。Python中的Scipy库提供了方便的函数来计算和绘制Yule-Simon分布。使用Yule-Simon分布可以拟合实际数据，并研究离散事件的发生情况。