以字典顺序查找可以放在N * N棋盘上的非攻击车的位置

简介

在一个 N * N 大小的棋盘上，放置 k 个不互相攻击的车的位置有多少种方案，其中 k <= N。本文将介绍一种以字典顺序查找可以放置非攻击车的位置的方法。

解题思路

1. 定义状态：用一个 vector 来表示每行的皇后在第几列。
2. 针对每一行，判断这个皇后可以放置在哪列。若放置，将该皇后对应的 vector 更新。如果这个皇后没有可放置的位置，则回溯到上一行，并将上一行的列数加1，重新进入第2步。
3. 直到所有行都有皇后放置时，找到一种方案。
4. 将这个方案转化为题目要求的形式，即将 vector 转化为用字符串表示皇后位置的形式。

时间复杂度

本算法的最差情况是递归到底层时每一行都要遍历完整个棋盘，因此时间复杂度为 O(N^N)。

代码示例

void solve(int row, int n, vector<int>& state, vector<vector<string>>& res) {
    if (row == n) {
        vector<string> ans(n, string(n, '.'));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans[i][state[i]] = 'Q';
        }
        res.push_back(ans);
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        bool flag = true;
        for (int k = 0; k < row; k++) {
            if (state[k] == col || abs(row - k) == abs(col - state[k])) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            state[row] = col;
            solve(row + 1, n, state, res);
            state[row] = -1;
        }
    }
}

vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
    vector<vector<string>> res;
    vector<int> state(n, -1);
    solve(0, n, state, res);
    return res;
}

总结

本文介绍了一种以字典顺序查找可以放置非攻击车的位置的方法，该方法时间复杂度为 O(N^N)。通过对状态的定义以及基于“能否合法放置”进行筛选的过程，可以降低部分不必要的搜索，提高程序效率。