查找由阵列旋转生成的矩阵的行列式

介绍

阵列旋转（Array Rotation）是一种常见的数组处理操作，可以把一个 $n \times m$ 的矩阵逆时针旋转 $k$ 次得到一个新的矩阵。例如，对于下面这个 $3 \times 3$ 的矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

逆时针旋转 $1$ 次后得到：

2 3 6
1 5 9
4 7 8

很多时候，我们需要对一个旋转后的矩阵进行计算，如求行列式（Determinant）等。本文将介绍如何求一个由阵列旋转生成的矩阵的行列式。

求解

假设我们有一个 $n \times m$ 的初始矩阵 $A$：

$$ A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,m} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & \cdots & a_{n,m} \end{bmatrix} $$

我们可以将其逆时针旋转 $k$ 次，得到新的矩阵 $B$：

$$ B=\begin{bmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,m} \ \vdots & \ddots & \vdots \ b_{n,1} & \cdots & b_{n,m} \end{bmatrix} $$

我们设 $k'=k \bmod 4$，那么有：

• $k'=0$，$B=A$
• $k'=1$，$B$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列为 $A$ 的第 $j$ 行和第 $n-i+1$ 列
• $k'=2$，$B$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列为 $A$ 的第 $n-i+1$ 行和第 $m-j+1$ 列
• $k'=3$，$B$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列为 $A$ 的第 $m-j+1$ 行和第 $i$ 列

我们可以通过将 $B$ 分成若干个 $2 \times 2$ 的小矩阵来求解行列式。

设 $b_{i,j,k}$ 表示 $B$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列对应的 $A$ 的行列位置，并设 $D_k$ 表示 $B$ 逆时针旋转 $k$ 次后的行列式。

那么有：

$$ D_0=\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{1,3} & a_{1,4} \ a_{2,3} & a_{2,4} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} a_{1,m-1} & a_{1,m} \ a_{2,m-1} & a_{2,m} \end{vmatrix} $$

$$ D_1=\begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{1,1} \ a_{2,2} & a_{1,2} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{3,1} & a_{2,1} \ a_{3,2} & a_{2,2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} a_{n-1,1} & a_{n-2,1} \ a_{n-1,2} & a_{n-2,2} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{n,1} & a_{n-1,1} \ a_{n,2} & a_{n-1,2} \end{vmatrix} $$

$$ D_2=\begin{vmatrix} a_{n,2} & a_{n,1} \ a_{n-1,2} & a_{n-1,1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{n-1,3} & a_{n-1,2} \ a_{n-2,3} & a_{n-2,2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} a_{2,m} & a_{2,m-1} \ a_{1,m} & a_{1,m-1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \ a_{1,1} & a_{1,2} \end{vmatrix} $$

$$ D_3=\begin{vmatrix} a_{1,m-1} & a_{2,m-1} \ a_{1,m} & a_{2,m} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{1,m-3} & a_{2,m-3} \ a_{1,m-2} & a_{2,m-2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{2,2} \ a_{1,1} & a_{2,1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{n-1,m} & a_{n,m} \ a_{n-2,m} & a_{n-1,m} \end{vmatrix} $$

代码片段：

def det_after_rotation(A: List[List[int]], k: int) -> int:
    # 计算逆时针旋转后的行列式值
    n, m = len(A), len(A[0])
    k %= 4
    D = 1
    if k == 0:
        # 旋转 0 次
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if i < j:
                    A[i][j], A[j][i] = A[j][i], A[i][j]
        for i in range(n):
            D *= A[i][i]
    elif k == 1:
        # 旋转 1 次
        for i in range(1, m):
            for j in range(n-1, -1, -1):
                if j == n-1:
                    A[j][i], A[i-1][j] = A[i-1][j], A[j][i]
                elif j == 0:
                    A[j][i], A[i][j] = A[i][j], A[j][i]
                else:
                    A[j][i], A[i-j-1][n-j-1] = A[i-j-1][n-j-1], A[j][i]
        for i in range(n):
            D *= A[i][n-i-1]
    elif k == 2:
        # 旋转 2 次
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(m-1, -1, -1):
                if i < j:
                    A[i][j], A[j][i] = A[j][i], A[i][j]
        for i in range(n):
            D *= A[i][i]
    else:
        # 旋转 3 次
        for i in range(m-2, -1, -1):
            for j in range(1, n):
                if j == n-1:
                    A[j][i], A[i+1][j] = A[i+1][j], A[j][i]
                elif j == 0:
                    A[j][i], A[i][j] = A[i][j], A[j][i]
                else:
                    A[j][i], A[n-i+j-1][j-1] = A[n-i+j-1][j-1], A[j][i]
        for i in range(n):
            D *= A[i][n-i-1]
    return D

总结

矩阵计算是一个重要的数学分支，阵列旋转是其中常见的操作之一。本文介绍了如何求解由阵列旋转生成的矩阵的行列式，提供了详细的求解方法，并给出了相应的代码实现。希望能对大家有所帮助。