通过添加单个边来最大化给定顶点之间的最短路径

在图论中，如果我们想最大化给定顶点之间的最短路径，我们可以考虑通过添加单个边来实现。

原理

假设我们有一张图 G=(V,E)，我们要将顶点 u 和 v 之间的最短路径最大化。假设这个最短路径是 d(u,v)，我们可以考虑添加一条边 e=(x,y)，其中 d(u,x)+w(e)+d(y,v)=d(u,v)+1，其中 w(e) 是添加的边的权重。

通过添加边 e，我们可以将图 G 转化为 G'=(V, E+e)，其中 E+e 表示将边 e 添加到原来的边集 E 中。

通过添加边 e，我们可以确保 d(u,v) 的值从原来的值 d(u,v) 变为 d(u,x)+w(e)+d(y,v)，并且这个值最大化。

实现

实现这个算法的关键是找到满足条件的边 e。具体的实现步骤可以如下所示：

1. 对于每对顶点 u 和 v，计算它们之间的最短路径 d(u,v)；
2. 对于每个顶点对 u 和 v，遍历所有的可能的边 e=(x,y)，并且满足条件 d(u,x)+w(e)+d(y,v)=d(u,v)+1；
3. 计算每个符合条件的边 e=(x,y) 的权重 w(e)，并将它们存储在一个列表中；
4. 从符合条件的边列表中选择权重最大的一条边 e，并将它添加到原来的边集 E 中。

示例代码

def max_shortest_path(G):
    from itertools import combinations
    
    max_dist = 0 # 最大最短路径
    max_edge = None # 使最短路径最大的边
    
    # 计算每对顶点之间的最短路径
    dist = dict(nx.all_pairs_shortest_path_length(G))
    
    # 遍历每一对顶点，找到最大化最短路径的边
    for u, v in combinations(G.nodes(), 2):
        d_uv = dist[u][v] # u 和 v 之间的最短路径
        
        # 遍历每个可能的边 (x,y)
        for x, y in combinations(G.nodes(), 2):
            if x != y and (x, y) not in G.edges():
                if dist[u][x] + dist[y][v] == d_uv - 1:
                    w_e = 1 # 边 e 的权重为 1
                    if w_e > max_dist:
                        max_dist = w_e
                        max_edge = (x, y)
    
    # 添加使最短路径最大的边
    if max_edge is not None:
        G.add_edge(*max_edge)
    
    return G

返回的结果为图 G，并且已经添加了最大化最短路径的边。