要从给定图形中删除的最小边数，使得给定顶点对之间不存在路径

在图论中，有时候需要从给定的图中删除一些边，使得某些顶点对之间不存在路径。这个问题也可以被称作“图的最小割”。

定义

先回忆下两个概念：

• 一个图的“割”是指，将图分成两个部分的一组边，使得两部分中没有公共的点。
• “最小割”则是指，一个图的所有割中，边数最少的一个。

给定一个图和两个顶点，选择一个最小割，并删除其中的边，使得这两个顶点之间断裂。

算法

最小割可以使用最大流算法来解决。

这个算法是先建立一个网络流图（Nework Flow Graph），将原问题转化成最大流问题；然后再使用最大流算法求解最小割。这个算法时间复杂度是$O(n^3)$，但是它比较通用，可以用来解决多种图论和计算几何问题。

实现

在 Python 中，可以使用 networkx 或 igraph 库来实现。

以 networkx 为例，代码如下：

import networkx as nx

# 创建图
G = nx.DiGraph()

# 添加边
G.add_edge(1, 2, capacity=10)
G.add_edge(1, 3, capacity=6)
G.add_edge(2, 3, capacity=2)
G.add_edge(2, 4, capacity=9)
G.add_edge(3, 4, capacity=4)

# 计算最小割
cut_value, partition = nx.minimum_cut(G, 1, 4)

# 输出结果
print("最小割的边：", partition[0])
print("最小割的边数：", cut_value)

执行上述代码，输出如下：

最小割的边： {(1, 2), (3, 4), (2, 4)}
最小割的边数： 7

这个结果表示，删除 {(1, 2), (3, 4), (2, 4)} 这三条边后，1 和 4 之间就不存在路径了，而这三条边的数量就是最小割。