UGC-NET CS 2017 年 12 月 2 日 |问题 23

本题是一道编程问题，考察对于递归和循环的理解及应用。题目要求实现一个函数f(n)来计算如下递归式：

f(n) = {
    1，                   当 n ≤ 1；
    n + f(n/2)，          当 n > 1 且 n 是偶数；
    2 × f((n-1)/2) + 1，  当 n > 1 且 n 是奇数。
}

实现思路

可以简单将上述递归式转化为代码实现，但是这将导致重复计算，效率很低。因此需要使用动态规划或记忆化搜索等算法来提高效率。

我们可以使用一个数组来保存每个已经计算过的f(n)，以此减少重复计算。具体实现思路如下：

1. 定义一个长度为 n 的数组 dp[]，并将数组所有元素初始化为 -1；
2. 写出递归式 f(n) 的代码实现，其中如果 dp[n] 的值不为 -1，则返回 dp[n]；
3. 递归计算 f(n)，并将结果保存到 dp[n] 中；
4. 返回 dp[n]。

代码实现

以下是基于上述实现思路的代码实现，具体细节注释在代码中。

public class UGCNET {
    static int MAX = 1000000;  // 用来定义 dp 数组长度的最大值
    static int dp[] = new int[MAX];  // dp 数组
    public static int f(int n) {
        if (n <= 1) return 1;
        if (dp[n] != -1) return dp[n];  // 若 dp[n] 已经计算过，直接返回其值
        if (n % 2 == 0) dp[n] = n + f(n / 2);  // 若 n 为偶数
        else dp[n] = 2 * f((n - 1) / 2) + 1;  // 若 n 为奇数
        return dp[n];  // 返回 dp[n]
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;  // 测试数据
        Arrays.fill(dp, -1);  // 初始化 dp 数组
        System.out.println(f(n));  // 输出 f(n)
    }
}

Markdown格式代码片段

## 实现思路

可以简单将上述递归式转化为代码实现，但是这将导致重复计算，效率很低。因此需要使用动态规划或记忆化搜索等算法来提高效率。

我们可以使用一个数组来保存每个已经计算过的`f(n)`，以此减少重复计算。具体实现思路如下：

1. 定义一个长度为 `n` 的数组 `dp[]`，并将数组所有元素初始化为 `-1`；
2. 写出递归式 `f(n)` 的代码实现，其中如果 `dp[n]` 的值不为 `-1`，则返回 `dp[n]`；
3. 递归计算 `f(n)`，并将结果保存到 `dp[n]` 中；
4. 返回 `dp[n]`。

## 代码实现

以下是基于上述实现思路的代码实现，具体细节注释在代码中。

```java
public class UGCNET {
    static int MAX = 1000000;  // 用来定义 dp 数组长度的最大值
    static int dp[] = new int[MAX];  // dp 数组
    public static int f(int n) {
        if (n <= 1) return 1;
        if (dp[n] != -1) return dp[n];  // 若 dp[n] 已经计算过，直接返回其值
        if (n % 2 == 0) dp[n] = n + f(n / 2);  // 若 n 为偶数
        else dp[n] = 2 * f((n - 1) / 2) + 1;  // 若 n 为奇数
        return dp[n];  // 返回 dp[n]
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;  // 测试数据
        Arrays.fill(dp, -1);  // 初始化 dp 数组
        System.out.println(f(n));  // 输出 f(n)
    }
}