📅 最后修改于: 2023-12-03 14:50:05.388000 🧑 作者: Mango
树（Tree）是计算机科学中常用的一种数据结构，其常常用于存储具有层级关系的数据，例如文件系统、网站目录结构等。本文将介绍树的一些基本定理。
在介绍树的定理之前，先来回顾一下树的基本概念。
根节点（Root）：一棵树有且只有一个根节点，它没有父节点。通常情况下，根节点被用作树的入口，从根节点开始，可以遍历整棵树。
子节点（Child）：一个节点可以有多个子节点。如果一个节点没有子节点，那么它就是叶子节点。
父节点（Parent）：一个节点可以有一个父节点。
兄弟节点（Sibling）：有相同父节点的节点互为兄弟节点。
深度（Depth）：从根节点到某个节点的路径长度被称为该节点的深度。根节点的深度为 0。
高度（Height）：从某个节点到它的子节点所组成的最长路径长度被称为该节点的高度。叶子节点的高度为 0。
对于一棵树而言，它的节点可以被表示为 V={1,2,3,...,n}，其中 n 表示该树的节点数。同时，由于树的每个节点都有一个父节点（除了根节点），所以整棵树中共有 n-1 条边。
这个定理可以被用于验证树的正确性。如果我们在构建树的过程中发现节点数与边数不符，那么很可能出现了错误，需要进一步检查。
一棵有 n 个节点的树有 n-1 条边。
考虑一棵深度为 h（从根节点到最深的叶子节点的距离为 h）的树。该棵树的第 i 层（从根节点开始，下标为 1）有 n[i] 个节点。
我们可以看到，该棵树的所有叶子节点都在第 h 层。因此，叶子节点的数量为 n[h]。同时，每一层的节点数量以及该棵树的总节点数分别为：
所有节点总数 n = n[1] + n[2] + ... + n[h]
树的每一层节点数之和 N = (n[1]) + (n[2] + n[1]) + (n[3] + n[2] + n[1]) + ... + (n[h] + n[h-1] + ... + n[1])
观察可得，除了第一层节点以外，每一层的节点都包含前一层节点的和。因此我们可以将 N 重写为：
N = n[1]*h + (n[2] + ... + n[h])*1
因为叶子节点只存在于第 h 层，所以：
叶子节点数 = n[h]
将叶子节点数代入上式得到：
叶子节点数 = n[1] + (n[2] + ... + n[h-1]) + n[h]
叶子节点数 = N - n[1]*h
回到原始问题，因为每一层的节点都包含前一层节点的和，因此 N 可以被写为：
N = n[1] + (n[1] + n[2]) + (n[1] + n[2] + n[3]) + ... + (n[1] + n[2] + ... + n[h])
N = n[1]*h + Sum(n[i]) (i=1,2,...,h-1)
将 N 和叶子节点数代入上式得到：
n[h] = N - n[1]*h
n[h] = Sum(n[i]) (i=1,2,...,h-1)
这就是定理二的数学公式表示。
在一棵有限深度的树中，叶子节点数等于每层节点数和的和。
显然，一棵树的节点数总是大于或等于叶子节点数。因此我们可以得到以下式子：
叶子节点数 <= 树的节点数
根据定理一，一棵有 n 个节点的树有 n-1 条边，因此右式可以被写为：
叶子节点数 <= n
此外，由定理二我们可知：
叶子节点数 = n[h]
因此我们可以将上式改写为：
n[h] <= n
又因为树的深度 h 满足 1 <= h <= n，所以可以得到：
n[h] <= n/2
综上可得：
在一棵有限深度的树中，叶子节点数不超过总节点数的一半。
满二叉树是一种特殊的树，它的每个节点都有 0 或 2 个子节点。如果一棵深度为 h 的树是满二叉树，那么它将具有以下定义：
我们可以利用定理二来推导一棵满二叉树的节点数。对于深度为 h 的树，它的叶子节点数为：
n[h] = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(h-1)
这是一个等比数列，可以通过以下方式求和：
n[h] = 2^h - 1
因为一棵满二叉树的每个节点都有 0 或 2 个子节点，所以某个深度为 h 的满二叉树的节点数总是 2^(h+1) - 1。因此我们可以得到以下 equation:
2^(h+1) - 1 = n
我们可以通过对两侧同时取对数来得到：
log2(n+1) = h
这就是定理四的数学公式表示。
一棵 n 个节点的满二叉树的深度是 log2(n+1)。