获得 K 周期回文字符串所需的最少替换次数

介绍

回文字符串是指正读和反读都相同的字符串，即对于一个字符串 S，如果反转后得到的字符串 S' 与字符串 S 相等，则称字符串 S 为回文字符串。K 周期回文字符串是一种特殊的回文字符串，即将字符串 S 分成长度为 K 的若干个子字符串后，每个子字符串都与它的对称位置的子字符串相等。例如，当 K=3 时，字符串 "abcabca" 就是一个三周期回文字符串，因为它可以分成 "abc"、"abc" 和 "a" 三个子字符串，每个子字符串都与它的对称位置的子字符串相等。

本文将介绍如何计算获得 K 周期回文字符串所需的最少替换次数。

方法

假设字符串 S 的长度为 n，k = n / K，那么对于字符串 S 中的任意一个子串 S[i...i+K-1]，它对称位置的子串为 S[(k-i/K-1)K+j]，其中 j = i % K。因此，如果我们将子串 S[i...i+K-1] 替换成 S[(k-i/K-1)K+j]，则可以获得一个 K 周期回文字符串。

为了获得 K 周期回文字符串，我们可以将字符串 S 分为 k 个长度为 K 的子串，然后逐个考虑每个子串，找到它的对称位置并计算将它替换成对称位置的最少替换次数。最终，我们可以将每个子串替换成它的对称位置，从而得到一个 K 周期回文字符串，使得替换次数最少。

计算将一个子串替换成它的对称位置的最少替换次数可以使用动态规划算法。具体来说，我们定义 dp[i][j] 表示将子串 S[i...i+K-1] 替换成 S[(k-i/K-1)K+j] 的最少替换次数。如果 S[i] == S[(k-i/K-1)K+j]，那么 dp[i][j] = 0，否则 dp[i][j] = 1 + min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])，表示我们可以将 S[i] 替换成 S[(k-i/K-1)K+j] 或者将 S[(k-i/K-1)K+j] 替换成 S[i]，然后计算替换后的最少替换次数。

最终的答案就是将所有子串都替换成它的对称位置所需的最少替换次数。

代码

以下是使用 Python 实现的代码片段，用于计算获得 K 周期回文字符串所需的最少替换次数：

def min_replacements(s: str, k: int) -> int:
    n = len(s)
    m = n // k
    dp = [[0] * k for _ in range(k)]
    for i in range(k):
        for j in range(k):
            if s[i] != s[(m-i//k-1)*k+j]:
                dp[i][j] = 1
            if i > 0 and j > 0:
                dp[i][j] += min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
            elif i > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j]
            elif j > 0:
                dp[i][j] += dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]

该函数的输入为一个字符串 s 和一个整数 k，输出为获得 K 周期回文字符串所需的最少替换次数。