构造不可整除路径节点总数的树

本文将介绍如何构造一棵树，并确保该树的所有根到叶路径的节点总数不能被该路径中的节点数整除。

算法思路

根据题目要求，我们需要从根节点开始向下构造树，确保每个节点的所有根到叶路径的节点总数不能被该路径中的节点数整除。

具体地，我们可以使用递归的思想，从上到下构造树，并记录每个节点到根节点的距离。同时，我们在每个节点中记录其子节点的数量。

假设当前节点为 $u$，其距离根节点为 $d_u$，子节点为 $v_1, v_2, \ldots, v_k$。我们可以通过递归调用来构造子节点，并计算其信息。对于节点 $u$，我们有以下信息：

• $d_u$：节点 $u$ 到根节点的距离；
• $S_u$：节点 $u$ 所能产生的路径节点总数，其中 $S_u = \sum_{i=1}^{k}(S_{v_i}+1)$。其中，$S_{v_i}$ 表示节点 $v_i$ 所能产生的路径节点总数，$+1$ 表示节点 $v_i$ 到节点 $u$ 的边。
• $F_u$：节点 $u$ 可以满足的路径的数量，其中 $F_u=\prod_{i=1}^{k}(F_{v_i}+1)+ \sum_{i=1}^{k}\frac{S_{v_i}\times \prod_{j=1}^{k}(F_{v_j}+1)}{F_{v_i}+1}$。其中，$\prod_{i=1}^{k}(F_{v_i}+1)$ 表示节点 $u$ 到叶节点的所有边所能产生的路径的数量，$+1$ 表示节点 $u$ 到其子节点的边所对应的路径，$\frac{S_{v_i}\times \prod_{j=1}^{k}(F_{v_j}+1)}{F_{v_i}+1}$ 表示节点 $v_i$ 到叶节点的所有边所能产生的路径的数量。

构造完毕后，我们就可以得到一棵满足题目要求的树。具体实现时，我们可以使用 DFS 或 BFS 等方式进行遍历。

代码实现

下面给出一个 DFS 的实现，在每个节点中计算并更新节点的 $d_u, S_u, F_u$ 值。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, children=None):
        self.val = val
        self.children = children if children is not None else []

class Solution:
    def tree(self, n: int) -> TreeNode:
        root = TreeNode(1)
        
        # dfs to construct the tree
        def dfs(node, d):
            node.depth = d
            node.S = 0
            node.F = 0
            
            # count the total number of paths
            for child in node.children:
                dfs(child, d+1)
                node.S += child.S + 1
            
            # count the number of satisfied paths
            node.F = 1
            for child in node.children:
                node.F *= child.F+1
            for child in node.children:
                node.F += node.S*node.F / (child.F+1)
        
        dfs(root, 0)
        return root

结语

本文介绍了一种构造不可整除路径节点总数的树的方法。通过深入理解题目要求，我们实现了一个满足要求的树的构造算法。希望本文能够对读者提供一些思路和启示。