没有可被 K 整除的对和的子数组

简介

该主题涉及到子数组的求解问题，即从一个数组中找出满足条件的一段连续子数组。特别地，要求这个子数组不存在任何一对数相加可以被 K 整除。

解决方案

最容易想到的一种解决方案是暴力枚举，即对于数组中的每个元素 i 和 j(i<j)，判断是否存在 i 到 j 的连续子数组中任意两个数之和可以被 K 整除。该算法的时间复杂度为O(n^3)，显然不可取。

优化后的一个算法是使用前缀和和哈希表来求解。前缀和的概念是指从数组开头到当前位置的和，可以通过前缀和来快速求解任意子数组的和。如果某个子数组的和可以被 K 整除，那么它的前缀和对 K 取模的值是相同的，因此我们可以使用哈希表来记录每个前缀和 mod K 的值以及出现的次数。对于每个前缀和，我们可以快速查询前缀和 mod K 的值为 t 的前缀和的数量，然后将结果加到答案中。

该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(K)。

下面是使用 Python 实现的代码片段：

def subarrayCount(nums: List[int], k: int) -> int:
    prefix_sum = 0
    prefix_sum_freq = defaultdict(int)
    prefix_sum_freq[0] = 1
    ans = 0
    for num in nums:
        prefix_sum = (prefix_sum + num) % k
        ans += prefix_sum_freq[prefix_sum]
        prefix_sum_freq[prefix_sum] += 1
    return ans

总结

该主题让我们学会了在解决子数组问题时如何使用前缀和和哈希表来优化算法，提高时间复杂度。同时，也让我们对哈希表的应用有更深刻的理解。