没有对和可被 K 整除的子集

概述

题目要求给定一个整数集合，找出其中不包括任何数的子集的总和既可被K整除，又没有任何元素的子集。

这是一个比较典型的动态规划问题，我们可以用类似背包问题的方法来解决。

动态规划

我们可以用dp[i][j]来表示前i个数字和为j的方案数。例如，dp[3][4]表示前3个数字中和为4的方案数。

那么我们可以得到状态转移方程： dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]。

其中dp[i-1][j]表示不把第i个数字放到子集中的方案数，dp[i-1][j-nums[i]]表示把第i个数字放到子集中的方案数。

最终的答案就是dp[n][0]，即前n个数字和为0的方案数。

但是如果直接使用上述状态转移方程肯定会有很多重复计算的部分，所以我们需要对其进行一些优化。

首先，观察到状态转移方程中只与dp[i-1]有关，所以可以使用滚动数组来降低空间复杂度。

其次，如果一个和为i的子集不包括任何元素，那么它一定是可与k整除的（k为任意整数），所以我们可以对不包括任何元素的子集进行特判，将其dp值设置为2。

最后，我们可以通过%k运算来避免重复计算，因为如果dp[i-1][j]%k == m，那么dp[i][j]%k == dp[i-1][j]%k + dp[i-1][j-nums[i]]%k，也就是说我们每次只需要计算之前的结果mod上k即可。

完整代码如下所示：

class Solution:
    def solve(self, nums: List[int], k: int) -> bool:
        n = len(nums)
        dp = [[0] * k for _ in range(n + 1)]
        for i in range(n + 1):
            dp[i][0] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            if nums[i - 1] % k == 0:
                dp[i][0] = 2
            for j in range(1, k):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][(j - nums[i - 1]) % k]
        return dp[n][0] - 1

参考资料

• LeetCode 题目
• 背包问题 - 百度百科