没有元素可被3整除N的三元组

问题描述

给定一个长度为 n 的数组，找出其中有多少个三元组满足其元素之和不可被 3 整除。其中 n 和数组元素具体取值不定。

解决思路

暴力解法是枚举可能的三元组，计算其元素之和，判断是否满足条件。该算法的时间复杂度为 O(n^3)。

我们可以换一种思路，对于一个数 x，只有它被 3 整除后余数为 0，1，2 三种情况。因此，将数组元素按照它们被 3 整除后的余数分类，可以将问题转化为对每个余数集合中的元素进行两两组合，判断是否与另外两个余数组成的元素之和不可被 3 整除。对于余数为 0 的元素，它们必须两两组合，并且它们的组合数为 C(n, 2)。对于余数为 1 的元素和余数为 2 的元素，分别选取一组元素进行组合，组合数为 C(n, 1) * C(n, 1)。因此，总的时间复杂度为 O(n^2)。

具体实现细节可以参考下面的代码片段。

def count_triplets(arr, n):
    """
    计算没有元素可被3整除N的三元组个数
    :param arr: 数组
    :param n: 数组长度
    :return: 三元组个数
    """
    # 计算每个余数集合中的元素个数
    mod_count = [0] * 3
    for i in range(n):
        mod_count[arr[i] % 3] += 1

    # 计算余数为 0 的元素两两组合的个数
    res = mod_count[0] * (mod_count[0] - 1) // 2

    # 计算余数为 1 的元素和余数为 2 的元素组合的个数
    res += mod_count[1] * mod_count[2]

    return res

总结

本题是一道典型的用哈希表将复杂度从 O(n^2) 降到 O(n) 的问题。在实际应用中，哈希表可以用于优化多个算法，如图像处理、计算机视觉、匹配算法等等。