通过将n边多边形的顶点与两个公共边和非公共边相连而形成的三角形数量

本文介绍如何通过计算将n边多边形的顶点与两个公共边和非公共边相连而形成的三角形数量。这是一个经典的计算几何问题，有许多解法。

解法一：暴力枚举

我们可以枚举每个三角形，判断其是否合法。判断三角形合法的条件是其三个顶点要互不相同且不在同一条边上。

对于一个n边多边形，其所有三角形数量为O(n^3)，判断一个三角形是否合法复杂度为O(n)，因此暴力枚举的总复杂度为O(n^4)。

代码示例（Python）：

def count_triangles(n):
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j+1, n):
                if i != j != k and (i, j) != (k, j) != (i, k):
                    count += 1
    return count

解法二：组合数学

我们考虑一个合法三角形需要选择两条不共线的边，以及这两条边的交点作为第三个顶点。因为一个n边多边形一共有n条边，因此选择两条不共线的边的方案数为C(n,2)C(n-2,2)，而一个交点的方案数为n-3（注意减去两个端点和交点所在的边），因此合法三角形的总数为C(n,2)C(n-2,2)(n-3)。

代码示例（Python）：

import math

def count_triangles(n):
    return math.comb(n, 2) * math.comb(n-2, 2) * (n-3)

解法三：定理证明

我们可以证明一个结论：一个n边多边形中，任意三个顶点组成三角形，其余n-3个点到这个三角形的距离最多只有两个公共边之一的长度。因此，每个三角形要么不合法，要么至少与一个顶点相邻。

而一个n边多边形中，每个顶点都有n-3个相邻的三角形，因此总的三角形数量为n(n-3)/2。

代码示例（Python）：

def count_triangles(n):
    return n * (n-3) // 2

总结

本文介绍了三种解法，分别是暴力枚举、组合数学和定理证明。其中，定理证明是最为优美的解法，但需要较为复杂的证明过程。对于具体问题，我们需要选择合适的解法。