通过将具有两个公共边和无公共边的 n 边多边形的顶点连接起来形成的三角形数

这是一个关于计算多边形中三角形数量的问题。假设一个多边形有n个顶点，且每条边恰好与另外两条边相邻，那么可以通过将两个公共边连接起来将其分解为n-2个三角形。

解题思路

根据上述分解原理，可以通过简单的数学运算来计算n边形的三角形数量。

具体而言，三角形数量T(n)可以通过如下公式来计算：

T(n) = (n-2) * (n-4) / 2

为解释此公式，可以首先想象一个正12边形。由于每个顶点都有10条边与其相连，因此可以选择任意一个顶点，然后不断向相邻的点移动，直到遍历整个多边形。这样做可以发现，每个三角形都一定包含一个共同的顶点，因此在遍历过程中计算每个顶点的贡献，最后将其总和除以3即可得到三角形数量。对正12边形而言，其顶点贡献如下图所示：

可以看到，从其中一个顶点开始，遍历整个多边形必须经过所有的顶点，因此每个顶点的贡献都是相等的。由于正12边形总共有24条边，因此遍历整个多边形时总共会计算12个三角形。其中，每个三角形都会被计算两次，因此最终的三角形数量就是 (12 * 2) / 3 = 8。

对于一般的n边形，可以使用类似的方法计算每个顶点的贡献。具体而言，在遍历整个多边形的过程中，可以标记每个已遍历的边，以避免重复计算三角形。由于每个三角形都会被计算两次，因此最终的三角形数量就是 n * (n-4) / 2。

代码实现

以下是使用Python实现以上算法的示例代码，其中n表示多边形的边数：

def calculate_triangles(n):
    return n * (n-4) // 2

总结

通过以上方法，可以快速地计算多边形中三角形的数量，而无需逐个枚举每个三角形。此外，类似的方法也可以应用于其他类型的问题，例如计算无向图中环的数量等。