给定数组中最长的置换子序列介绍

简介

给定数组中最长的置换子序列，是一个经典的计算机科学问题，也是一种动态规划的算法。

给定数组A[1..n]，我们称一个序列B[1..k]为A的一个置换子序列，当且仅当B中的元素和A中的元素相同，但不一定按照相同的顺序排列。例如，[2,3,1]是[1,2,3]的一个置换子序列。

问题是求解A的最长的置换子序列。这个问题可以被证明是NP完全问题，但是它有一个有效的动态规划算法。

动态规划算法

算法的关键点是子问题的定义和解决子问题的方式。

我们定义L[i,j]为数组A中前i个数和B中前j个数的最长置换子序列的长度。这个问题的答案就是L[n,k]。

我们来考虑如何用子问题的解来求解L[i,j]。也就是说，我们假设我们已经知道了A的前i-1个元素和B的前j-1个元素的最长置换子序列的长度L[i-1,j-1]，我们如何用它来计算L[i,j]？

有两种情况：

1. A[i]和B[j]匹配（A[i]等于B[j]）。那么我们可以将A[i]和B[j]放在一起组成一个置换子序列，同时将B的前j-1个元素和A的前i-1个元素组成的最长置换子序列的长度加上1，就是A的前i个元素和B的前j个元素的最长置换子序列的长度。即L[i,j]=L[i-1,j-1]+1。

2. A[i]和B[j]不匹配。那么我们可以忽略A[i]，将前i-1个元素和前j个元素的最长置换子序列的长度赋值给L[i,j]。即L[i,j]=L[i-1,j]。

算法的边界条件是L[0,j]=0（一个空序列的最长置换子序列长度为0），L[i,0]=0。

通过上述方式计算L[i,j]，可以得到A和B的最长置换子序列的长度。

代码片段

下面是计算A和B的最长置换子序列长度的Python代码片段：

def getLongestPermutationSubsequenceLength(A, B):
    n, k = len(A), len(B)
    L = [[0]*(k+1) for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if A[i-1] == B[j-1]:
                L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1
            else:
                L[i][j] = L[i-1][j]
    return L[n][k]

代码中，我们用L[i][j]表示数组A的前i个元素和B的前j个元素的最长置换子序列的长度。通过动态规划的方式，依次计算L[i][j]，最后返回L[n][k]即可。

结语

给定数组中最长的置换子序列是一个有趣的计算机科学问题，也是一个很好的动态规划入门案例。希望本文可以帮助你更好地理解这个问题和解决方案。