拼图问题介绍

问题描述

给定一个棋盘，棋盘中有一些格子已经上色，需要为剩余的格子上色，要求没有两对已经上色的格子相互威胁。每个格子只能使用一种颜色上色，相邻的格子不能使用相同的颜色。

解决方案

方法一：回溯法

可以使用回溯法来解决该问题。回溯法是一种深度优先搜索的方法，在搜索过程中不断尝试不同的颜色来上色格子，直到找到合适的解。

算法步骤

1. 遍历棋盘，对于每个未上色的格子，尝试不同的颜色进行上色。
2. 检查当前格子与已经上色的格子是否相邻且颜色相同，如果相同则无法满足要求，回溯到上一个状态。
3. 如果当前格子已经上色，则继续下一个格子。
4. 如果所有格子都已经成功上色，则得到一个解，保存该解。
5. 继续回溯，寻找其他解。
6. 返回所有解。

代码示例（Python）

def solve_puzzle(board):
    colors = set()  # 保存所有可能的颜色
    solutions = []  # 保存所有解
    
    def backtrack(row, col):
        if row == len(board):
            solutions.append(board.copy())  # 得到一个解，保存解
            return
        
        if board[row][col] != 0:  # 当前格子已经上色，跳到下一个格子
            next_row = row
            next_col = col + 1
            if next_col == len(board[0]):
                next_row += 1
                next_col = 0
            backtrack(next_row, next_col)
            return
        
        for color in colors:
            if is_valid(row, col, color):
                board[row][col] = color
                next_row = row
                next_col = col + 1
                if next_col == len(board[0]):
                    next_row += 1
                    next_col = 0
                backtrack(next_row, next_col)
                board[row][col] = 0
        
    def is_valid(row, col, color):
        if col > 0 and board[row][col-1] == color:  # 左边格子颜色相同
            return False
        if row > 0 and board[row-1][col] == color:  # 上面格子颜色相同
            return False
        return True
    
    for row in range(len(board)):
        for col in range(len(board[0])):
            if board[row][col] != 0:
                colors.add(board[row][col])  # 获取已经上色的格子的颜色
    
    backtrack(0, 0)
    
    return solutions

方法二：图着色算法

拼图问题可以转化为图着色问题。可以将棋盘视为一个图，每个格子视为图的一个节点，相邻的格子之间有一条边连接。需满足的条件是相邻的格子颜色不同，即相邻节点的颜色不同。

算法步骤

1. 构建图的邻接矩阵。
2. 对图进行图着色算法，保证相邻节点的颜色不同。
3. 返回着色结果。

代码示例（Python）

def solve_puzzle(board):
    num_colors = 0  # 需要上色的颜色数量
    graph = [[] for _ in range(len(board))]  # 图的邻接矩阵
    colors = [0] * len(board)  # 保存每个节点的颜色
    
    def add_edge(i, j):
        graph[i].append(j)
        graph[j].append(i)
    
    def is_valid(node, color):
        for neighbor in graph[node]:
            if colors[neighbor] == color:
                return False
        return True
    
    def color_graph(node):
        if node == len(board):
            return True
        
        for color in range(1, num_colors+1):
            if is_valid(node, color):
                colors[node] = color
                if color_graph(node+1):
                    return True
                colors[node] = 0
        
        return False
    
    for row in range(len(board)):
        for col in range(len(board[0])):
            if board[row][col] == 0:
                continue
            if board[row][col] > num_colors:
                num_colors = board[row][col]
            if col > 0 and board[row][col-1] != 0:
                add_edge(board[row][col] - 1, board[row][col-1] - 1)
            if row > 0 and board[row-1][col] != 0:
                add_edge(board[row][col] - 1, board[row-1][col] - 1)
    
    color_graph(0)
    
    return colors

使用示例

board = [[1,2,3,0],
         [0,0,0,4],
         [0,0,0,5]]

solutions = solve_puzzle(board)
for solution in solutions:
    print(solution)

总结

拼图问题是一类经典的图着色问题，可以使用回溯法或图着色算法来解决。以上提供了两种解决方案的代码示例，通过递归的方式尝试不同的颜色来上色格子，最终得到满足条件的解。