门 | Sudo GATE 2021的测验|第55章

本文将介绍Sudo GATE 2021测验中第55章的题目“门”，主要是并查集的应用。该题目要求我们实现一个门的状态转换系统，并回答一些查询操作。

简介

在这个问题中，我们需要模拟一扇门的状态转换。门有两个状态：开和关。每个门有一个开关器，在开和关之间切换。我们可以进行三种操作：

1. 开门
2. 关门
3. 合并门：如果门A和门B都是打开的或关闭的，那么我们可以将它们合并成一个门。此时，合并后的门应该和合并前的门的状态相同。

题目描述

现在，我们需要实现一个门的状态转换系统。您需要回答以下询问：

1. 给定门x，输出门x的当前状态（开还是关）。
2. 尝试将门x打开/关闭。如果门本来就处于这种状态，则不做任何事情。
3. 将门A和门B合并（如果它们开着或关着）。此时，x应该指向合并后的门。

解题思路

我们可以用并查集来解决这个问题。对于每个门，我们用一个节点来表示它。我们可以用一个数组par来表示每个门的父节点。如果门x和门y已经合并，则它们的父节点将相同。如果门尚未合并，则我们将其父节点设置为它本身。

为了表示门的状态（开还是关），我们可以用一个数组state，其中state [i]表示门i的状态。

第一步是实现并查集的查找和合并操作。这两个操作的时间复杂度是O(alpha(n))，其中alpha(n)是反函数Ackermann函数，其增长非常缓慢，可以被视为常数。因此，总的查询操作的时间复杂度是O(Q alpha(n))，其中Q是查询的数量。

代码实现

class Door:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.par = [i for i in range(n)]
        self.state = [0 for i in range(n)]
    def find(self, x):
        if self.par[x] == x:
            return x
        return self.find(self.par[x])
    def merge(self, x, y):
        x_par, y_par = self.find(x), self.find(y)
        if x_par == y_par:
            return
        if self.state[x_par] != self.state[y_par]:
            self.par[x_par] = y_par
        else:
            self.par[y_par] = x_par
            self.state[x_par] ^= 1
    def get_state(self, x):
        return self.state[self.find(x)]
    def toggle_state(self, x):
        x_par = self.find(x)
        self.state[x_par] ^= 1
    def merge_doors(self, x, y):
        self.merge(x, y)
        x_par, y_par = self.find(x), self.find(y)
        if self.state[x_par] != self.state[y_par]:
            self.state[x_par] = self.state[y_par] = 0

如上述代码所示，Door类首先初始化有n扇门，每扇门的初始状态为关。定义了find(), merge(), get_state(), toggle_state(), merge_doors()等方法来操作门。其中find()和merge()是并查集的基本操作，get_state()用于获取某个门的状态，toggle_state()用于切换某个门的状态，merge_doors()可同时合并两个门。

总结

本题主要考察并查集的应用。需要考虑门的状态，可以用状态数组来表示。对于每扇门，可以用一个节点来表示。我们可以用并查集来动态维护门之间的关系。时间复杂度仅为O(Q alpha(n))，Q是查询数量，n为门的数量，alpha(n)反函数Ackermann函数，其增长非常缓慢，可以被视为常数。