在 Bresenham 线算法中追踪所有 8 个八度的图示

Bresenham 线算法是一种计算机绘图算法，用于在坐标系中绘制一条线段。在这个算法中，通过追踪每个八度的像素来绘制线段，可以实现高效的绘图效果。本文将介绍如何使用 Bresenham 线算法绘制所有 8 个八度的图形。

Bresenham 算法

Bresenham 算法使用递推方程来计算每个像素的位置。对于起点 $(x_1, y_1)$ 和终点 $(x_2, y_2)$，算法从 $x_1$ 开始，依次计算下一个像素的位置，并更新自己的 $x$ 坐标和误差值。具体来说，算法需要计算：当 $x$ 坐标从 $i$ 变为 $i+1$ 时，$y$ 坐标的变化。

具体的递推方程为：

delta_x = x2 - x1
delta_y = y2 - y1

error = 0

for x from x1 to x2:
    plot(x, y)
    error += delta_y / delta_x
    if error > 0.5:
        y += 1
        error -= 1

在这个算法中，我们假设 $x_1 < x_2$，即起点在终点左侧。如果起点在右侧，则可以通过将起点和终点对调来实现。

追踪八度

对于一条线段而言，我们可以将其看作从 $x_1$ 到 $x_2$ 范围内的像素点。在 Bresenham 算法中，我们需要计算每个像素的位置，并检查误差值是否达到了 0.5。如果达到了，则说明下一个像素需要向上或者向下一格。

现在，我们需要为每个八度制定一个规则，以便于计算每个像素的位置。下面是一个例子：

Octant 0: (x, y) -> (y, x)
Octant 1: (x, y) -> (x, y)
Octant 2: (x, y) -> (-x, y)
Octant 3: (x, y) -> (-y, x)
Octant 4: (x, y) -> (-y, -x)
Octant 5: (x, y) -> (-x, -y)
Octant 6: (x, y) -> (x, -y)
Octant 7: (x, y) -> (y, -x)

对于每个八度，我们需要将像素点的 $(x, y)$ 坐标转换成对应方向的坐标。例如，在八度 0 中，$(2, 3)$ 需要转换成 $(3, 2)$。这样，我们就可以在计算每个像素的位置时，根据八度的不同，应用对应的转换规则。

具体的代码实现将类似于下面的伪代码：

delta_x = x2 - x1
delta_y = y2 - y1

if delta_x == 0:
    # Special case where line is vertical
    for y from y1 to y2:
        plot(x1, y)
else:
    m = delta_y / delta_x
    octant = get_octant(x1, y1, x2, y2)

    if octant in (0, 1):
        error = 0
        y = y1
        for x from x1 to x2:
            x_prime, y_prime = transform_octant(x, y, octant)
            plot(x_prime, y_prime)
            error += abs(m)
            if error > 0.5:
                y += 1
                error -= 1
    elif octant in (2, 3):
        error = 0
        x = -x1
        for y from y1 to y2:
            x_prime, y_prime = transform_octant(x, y, octant)
            plot(x_prime, y_prime)
            error += abs(m)
            if error > 0.5:
                x -= 1
                error -= 1
    elif octant in (4, 5):
        error = 0
        y = -y1
        for x from x1 to x2:
            x_prime, y_prime = transform_octant(x, y, octant)
            plot(x_prime, y_prime)
            error += abs(m)
            if error > 0.5:
                y -= 1
                error -= 1
    elif octant in (6, 7):
        error = 0
        x = x1
        for y from y1 to y2:
            x_prime, y_prime = transform_octant(x, y, octant)
            plot(x_prime, y_prime)
            error += abs(m)
            if error > 0.5:
                x += 1
                error -= 1

其中，get_octant 函数用于获取起点和终点之间的八度。这个函数可以很容易地通过比较 $x_2 - x_1$ 和 $y_2 - y_1$ 的大小，来判断是哪个八度。

def get_octant(x1, y1, x2, y2):
    dx = x2 - x1
    dy = y2 - y1

    if dx >= 0:
        if dy >= 0:
            if dx >= dy:
                return 0
            else:
                return 1
        else:
            if dx >= abs(dy):
                return 7
            else:
                return 6
    else:
        if dy >= 0:
            if abs(dx) >= dy:
                return 3
            else:
                return 2
        else:
            if abs(dx) >= abs(dy):
                return 4
            else:
                return 5

transform_octant 函数用于根据八度方向将像素点坐标进行转换。这个函数可以根据上面的转换规则，为不同的八度制定不同的转换规则。

def transform_octant(x, y, octant):
    if octant == 0:
        return (y, x)
    elif octant == 1:
        return (x, y)
    elif octant == 2:
        return (-x, y)
    elif octant == 3:
        return (-y, x)
    elif octant == 4:
        return (-y, -x)
    elif octant == 5:
        return (-x, -y)
    elif octant == 6:
        return (x, -y)
    elif octant == 7:
        return (y, -x)

使用这些函数，我们就可以实现对所有八度的追踪。实际上，在实现中，我们很可能需要一些优化来提高效率，但是这些优化不会改变基本的追踪方式。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用 Bresenham 算法来追踪所有 8 个八度的像素点，并使用了一些转换规则来方便地计算每个像素的位置。通过详细地了解 Bresenham 算法的原理，我们可以更好地理解计算机绘图的基础知识，并能够在实现时进行更好的优化和调试。