空数组的最小成本

介绍

在这篇文章中，我们将讨论如何计算删除数组元素的成本，然后使用这些成本来计算如何以最小成本清空一个数组。

计算成本

数组中的每个元素都是有成本的，根据题目所给出的公式，删除元素的成本是 $2^{removed_count} * arr[i]$，其中 $removed_count$ 是从数组中删除元素的数量，$arr[i]$ 是要删除的元素的值。

清空数组的最小成本

现在我们来考虑如何以最小成本清空一个给定的数组。假设数组 $A$ 有 $n$ 个元素，我们需要将 $A$ 中的元素全部删除。由于我们要以最小成本来清空数组，因此我们需要找到删除顺序使得总成本最小。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。令 $f(i, j)$ 表示删除前 $i$ 个元素且已经删除了 $j$ 个元素时的最小成本。对于 $f(i, 0)$，上一个被删除的元素是 $A[i]$，因此 $f(i, 0) = 2^i * A[i]$。对于 $f(i, j)$，我们需要考虑删除 $A[i]$ 和不删除 $A[i]$ 两种情况，取最小值即可：

$$f(i, j) = \min{f(i-1, j-1) + 2^{j-1} * A[i], f(i-1, j)}$$

最终的答案为 $f(n, n)$，即删除所有元素的最小成本。

下面是这个问题的具体实现：

def min_cost_to_clear_array(arr):
    n = len(arr)
    f = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        f[i][0] = 2**(i-1) * arr[i-1]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            f[i][j] = min(f[i-1][j-1] + 2**(j-1) * arr[i-1], f[i-1][j])
    return f[n][n]

总结

本文介绍了如何计算删除数组元素的成本，并且使用动态规划计算了如何以最小成本清空一个数组。动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。