数据结构 | B和B+树 | 问题2

介绍

B树和B+树是常用的数据结构，它们分别用于解决在大数据集上的查询问题和维护快速访问的索引问题。B树是一种自平衡的搜索树数据结构，它允许执行类似于二分查找的有效操作。B+树是一种更为常用的自平衡树，它在内部节点只存储索引信息，而数据只会存储在叶节点上，优化了磁盘使用和查询效率。在B+树中，所有叶子节点都被链接在一起，形成了一个有序链表，这可以帮助我们进行范围查询和遍历。

在实际应用中，我们可以使用B+树作为数据库索引的数据结构。它可以提高数据库查询效率，避免全盘扫描的开销。同时，它也可用于存储文件系统的索引信息。

B树与B+树的区别

数据结构

B树是一种自平衡的搜索树数据结构，适用于在大数据集上进行插入、删除和查找等操作，它的每个节点可以存储多个数据项。B树的特点是将数据分散存储，不必全部保存在内存中，而是分层存储在磁盘上。因此它适用于大数据集上的查询操作。

B+树则是为了优化B树的查询效率而设计的，它的叶子节点中存储的是所有数据记录的信息，但是数据本身并不存储在叶子节点中。非叶子节点只存储索引信息，不存储实际的数据记录。所有叶子节点都被链接在一起，形成了一个有序链表，这可以帮助我们进行范围查询和遍历操作。

设计原则

B树和B+树的设计都遵循一些基本原则，如平衡和最大限度的分支（即节点）占据空间。两种树都采用平衡算法，以确保每个节点的子树高度最多相差1。B树和B+树的每个节点都是预留物理空间的。

B+树相对于B树的优势在于，用于索引的内部节点不保存数据，这样可以使得每个节点可以存储更多的索引信息。所以B+树比B树更适合用于索引数据结构。

查询效率

对于单个查询，B树和B+树所需的查找次数相同。但是当需要查找多个值时，B+树比B树更有效。

因为B+树的所有数据所在的叶子节点都是相互连接的，而B树的叶子节点则不是。在B+树中进行范围查询或者遍历操作时，只需要遍历叶子节点即可。而在B树中，可能需要遍历整个树才能找到范围内的数据。

因此，当数据是高度稠密的情况下，B+树的查询效率会更好，尤其是在面对一些范围查询操作时，B+树的优势会更加明显。

代码实现

B树和B+树的实现可以使用多种编程语言，如C++、Java、Python等。

以C++语言为例，下面给出B+树的基本实现代码。代码中包含了基础的查找、插入和删除操作以及一些帮助函数，用于操作B+树的节点。

#include<iostream>
using namespace std;

// B+树节点的定义
struct BPlusNode {
    // 叶子节点值
    int value;
    // 父节点指针，根节点的父节点为NULL
    BPlusNode* parent;
    // 子节点指针，叶节点的子节点均为NULL
    BPlusNode* children[5];
    // 节点大小，即节点中存储的关键字数量
    int size;
    // 构造函数
    BPlusNode(BPlusNode* p = 0): parent(p), size(0) {
        for(int i = 0; i < 5; i++)
            children[i] = 0;
    }
};

// B+树的定义
class BPlusTree {
public:
    // 构造函数
    BPlusTree(int m): M(m), root(new BPlusNode) {}
    // 析构函数
    ~BPlusTree() {}
    // 基本操作，查找、插入和删除
    bool Search(int key);
    bool Insert(int key);
    bool Remove(int key);
private:
    // B+树的基本参数
    const int M;
    BPlusNode* root;
    // 帮助函数，用于在节点中查找和插入关键字
    int Find(int key, BPlusNode* node);
    void Insert(int key, BPlusNode* node);
    // 节点分裂和合并操作
    void Split(BPlusNode* node);
    void Merge(BPlusNode* node);
};

// 在B+树中查找关键字
bool BPlusTree::Search(int key) {
    BPlusNode* node = root;
    while(node) {
        int pos = Find(key, node);
        if(pos < node->size && node->value == key)
            return true;
        else if(node->children[pos])
            node = node->children[pos];
        else
            break;
    }
    return false;
}

// 在节点中查找关键字
int BPlusTree::Find(int key, BPlusNode* node) {
    int left = 0, right = node->size - 1;
    while(left <= right) {
        int middle = (left + right) / 2;
        if(node->value == key)
            return middle;
        else if(node->value < key)
            left = middle + 1;
        else
            right = middle - 1;
    }
    return left;
}

// 在B+树中插入关键字
bool BPlusTree::Insert(int key) {
    BPlusNode* node = root;
    while(node) {
        if(node->size == M) {
            Split(node);
            node = node->parent;
            continue;
        }
        else if(!node->children[0]) {
            Insert(key, node);
            return true;
        }
        else {
            int pos = Find(key, node);
            if(node->children[pos]) {
                node = node->children[pos];
                continue;
            }
            else {
                Insert(key, node);
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

// 在节点中插入关键字
void BPlusTree::Insert(int key, BPlusNode* node) {
    int pos = Find(key, node);
    for(int i = node->size; i > pos; i--) {
        node->children[i] = node->children[i - 1];
        node->value[i] = node->value[i - 1];
    }
    node->children[pos] = 0;
    node->value[pos] = key;
    node->size++;
}

// 对节点进行分裂操作
void BPlusTree::Split(BPlusNode* node) {
    int middle = (node->size + 1) / 2 - 1;
    BPlusNode* newNode = new BPlusNode(node->parent);
    for(int i = middle + 1; i < node->size; i++) {
        newNode->children[newNode->size] = node->children[i];
        newNode->value[newNode->size] = node->value[i];
        if(newNode->children[newNode->size])
            newNode->children[newNode->size]->parent = newNode;
        newNode->size++;
    }
    newNode->children[newNode->size] = node->children[node->size];
    if(newNode->children[newNode->size])
        newNode->children[newNode->size]->parent = newNode;
    node->size = middle;
    if(node->parent) {
        Insert(newNode->value[0], node->parent);
        int pos = Find(newNode->value[0], node->parent);
        node->parent->children[pos] = node;
        newNode->parent = node->parent;
        node->parent = 0;
    }
    else {
        BPlusNode* newRoot = new BPlusNode;
        newRoot->value[0] = newNode->value[0];
        newRoot->size = 1;
        newRoot->children[0] = node;
        newRoot->children[1] = newNode;
        node->parent = newRoot;
        newNode->parent = newRoot;
        root = newRoot;
    }
}

// 对节点进行合并操作
void BPlusTree::Merge(BPlusNode* node) {
    int pos = Find(node->value[0], node->parent);
    BPlusNode* brother;
    if(pos == 0)
        brother = node->parent->children[1];
    else
        brother = node->parent->children[pos - 1];
    if(brother->size + node->size <= M) {
        for(int i = 0; i < node->size; i++) {
            brother->value[brother->size] = node->value[i];
            brother->children[brother->size++] = node->children[i];
            if(brother->children[brother->size - 1])
                brother->children[brother->size - 1]->parent = brother;
        }
        brother->children[brother->size] = node->children[node->size];
        if(brother->children[brother->size])
            brother->children[brother->size]->parent = brother;
        node->size = 0;
        node->parent->size--;
        for(int i = pos; i < node->parent->size; i++)
            node->parent->value[i] = node->parent->value[i + 1];
        for(int i = pos + 1; i <= node->parent->size; i++)
            node->parent->children[i] = node->parent->children[i + 1];
        if(node->parent->size < ((M + 1) / 2 - 1))
            Merge(node->parent);
    }
    else {
        for(int i = node->size - 1; i >= 0; i--) {
            node->value[i + 1] = node->value[i];
            node->children[i + 1] = node->children[i];
        }
        node->children[0] = brother->children[brother->size];
        if(node->children[0])
            node->children[0]->parent = node;
        node->value[0] = brother->value[brother->size - 1];
        node->size++;
        brother->size--;
        node->parent->value[pos] = node->value[0];
    }
}

// 在B+树中删除关键字
bool BPlusTree::Remove(int key) {
    BPlusNode* node = root;
    while(node) {
        int pos = Find(key, node);
        if(pos < node->size && node->value[pos] == key) {
            if(node->children[0]) {
                BPlusNode* p = node->children[pos];
                while(p->children[0]) {
                    p = p->children[p->size];
                }
                node->value[pos] = p->value[p->size - 1];
                pos = p->size - 1;
                node = p;
            }
            for(int i = pos; i < node->size - 1; i++) {
                node->value[i] = node->value[i + 1];
                node->children[i + 1] = node->children[i + 2];
            }
            node->size--;
            if(node->size < ((M + 1) / 2 - 1)) {
                if(node->parent)
                    Merge(node);
                else {
                    root = node->children[0];
                    root->parent = 0;
                    delete node;
                }
            }
            return true;
        }
        else if(!node->children[0])
            break;
        else
            node = node->children[pos];
    }
    return false;
}

总结

B树和B+树是一种重要的数据结构，在大型数据库和文件系统等领域得到广泛应用。两种树的设计原则与实现方式有所区别，但基本实现思路是相似的。值得注意的是，在实际应用中需要根据需求选择合适的数据结构，以提高查询效率和数据处理能力。