数据结构 | 图 | 问题2

在计算机科学中，图是一种非常有用的数据结构，它由节点（或称为顶点）和连接这些节点的边组成。图在各种应用场景中都有广泛的应用，例如社交网络、物流路线规划等等。

图的表示

图可以通过多种方式来表示，其中最常用的两种是邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

邻接矩阵是一个二维数组，其中每个元素代表两个节点之间是否存在一条边。

# 一个邻接矩阵的例子

graph = [
  [0, 1, 1, 0],
  [1, 0, 0, 1],
  [1, 0, 0, 1],
  [0, 1, 1, 0]
]

在上面的例子中，节点1和节点2之间有一条边，节点2和节点4之间有一条边，其余的节点之间没有边。

邻接表

邻接表是一个字典，其中每个键代表一个节点，值则是一个列表，列表中包含了该节点所连接的所有节点。

# 一个邻接表的例子

graph = {
  1: [2, 3],
  2: [1, 4],
  3: [1, 4],
  4: [2, 3],
}

在上面的例子中，节点1和节点2之间有一条边，节点2和节点4之间有一条边，其余的节点之间没有边。

图的问题2

图的问题2，也称为图的二分问题，指的是将图中的节点分成两个独立的集合，并使同一集合中的节点没有边相连。如果图无法被二分，则说明此图不是二分图。

例如，下图是一个二分图的例子：

我们可以将图中的所有节点分成两个独立的集合：

可以看出，被分在同一集合的节点之间没有边相连，因此这是一个二分图。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）来进行判断，判断的过程中需要将节点分成两个集合，并保证同一集合中的节点没有边相连。

def isBipartite(graph):
    """
    :type graph: List[List[int]]
    :rtype: bool
    """
    # 首先将所有节点标记为未访问
    # 这里使用字典来实现，键为节点编号，值为'U'表示未访问
    # 'A'和'B'表示节点属于哪个集合
    status = {i: 'U' for i in range(len(graph))}
    
    # 递归地遍历每个节点
    for i in range(len(graph)):
        if status[i] == 'U':
            if not dfs(graph, status, i, 'A'):
                return False
    
    return True

def dfs(graph, status, node, group):
    # 如果该节点已经被访问过了，判断它是否属于同一集合
    if status[node] != 'U':
        return status[node] == group
    
    # 标记该节点为当前集合
    status[node] = group
    
    # 递归处理该节点相邻的节点
    for neighbor in graph[node]:
        if not dfs(graph, status, neighbor, 'B' if group == 'A' else 'A'):
            return False
    
    return True

在上面的代码中，我们首先初始化一个字典来存储每个节点的状态（未访问、属于集合A、属于集合B），然后递归地遍历每个节点，在遍历过程中进行深度优先搜索。

对于每一个节点，如果它还未被访问过，那么我们先将其标记为当前集合，然后递归处理它相邻的节点。如果递归过程中发现相邻的节点已经被访问过了，那么我们就需要判断它和当前节点是否属于同一集合。如果它们属于同一集合，则说明该图不是二分图。否则，我们将该节点标记为另一个集合，继续递归处理它相邻的节点。最终，如果每个节点都被访问过，并且没有相邻的节点属于同一集合，那么该图就是一个二分图。

总结

图是一种非常有用的数据结构，它可以用于各种应用场景，例如社交网络、物流路线规划等等。此外，图的二分问题也是一个非常重要的问题，它可以通过深度优先搜索来解决。在实际开发中，我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，并实现各种基本操作。