串联时可被K整除的Array元素对数

在数组中找到一对元素，它们的和可以被K整除。这个问题可以通过暴力法，在数组的每一对元素之间进行检查来解决。但是，这种方法的时间复杂度为O(n^2)，因此在大型数据集的情况下，它会变得非常慢。

在本文中，我们将介绍一个更有效的解决方案。它涉及一个非常有用的算法：前缀和。

前缀和

前缀和是一种预处理技术，用于在O(1)时间内回答关于一个数组的任何区间查询。为了计算前缀和，我们首先需要一个空的数组来存储这些值，然后将每个元素添加到其前面的元素。最终结果就是一个包含原始数组所有元素前缀和的数组。

下面是一个示例，演示如何计算给定数组的前缀和：

def prefix_sum(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [0] * (n + 1)

    for i in range(1, n + 1):
        prefix[i] = prefix[i - 1] + arr[i - 1]

    return prefix

解决方案

有了前缀和，我们可以很容易地计算任何区间的和。现在，我们可以将数组中的每个元素看作其前缀和。对于索引为i和j的两个元素之间的区间和，我们可以使用下面的公式：

prefix_sum[j+1] - prefix_sum[i]

该公式返回从索引i到索引j的子数组的和。如果该和可以被K整除，则我们找到了一对满足条件的元素。

下面是一个完整的Python函数，它使用前缀和来计算串联时可被K整除的Array元素对数：

def count_pairs(arr, k):
    n = len(arr)
    prefix = prefix_sum([x % k for x in arr])
    count = 0

    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if (prefix[j + 1] - prefix[i]) % k == 0:
                count += 1

    return count

该函数首先通过对原始数组中的每个元素进行取模来创建新的数组。然后，它使用前缀和来计算新数组的前缀和。最后，它使用双重循环来枚举数组中的每对元素，并使用前缀和来检查它们的和是否可以被K整除。如果可以，则将计数器增加1。

总结

通过使用前缀和技术，我们可以在O(n)时间内解决串联时可被K整除的Array元素对数问题。该算法还可以优化，以在单个循环中完成该操作。这个问题具有很多变体，包括数组中的三元组和四元组，以及对高兴投掷平板电视的人可能遇到的问题（）。

以下是一个更快但更简短的解决方案，将所有计算都放在一个单独的for循环中：

def count_pairs(arr, K):
    n = len(arr)
    count, total = 0, 0
    mods = [0] * K

    for i in range(n):
        total += arr[i]
        count += mods[total % K]
        mods[total % K] += 1

    return count

此解决方案使用一个额外的数组来记录目前为止计算出的所有前缀和模K的余数的出现次数。计算前缀和的同时，它使用累加器来记录当前的总和。对每个累加器求模后，它将查找该余数的计数器的当前值，以便找到可被K整除的对数。然后，它增加该余数的计数器的值，表示已经处理过该值并且不再需要它。