计算具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列

Bitwise AND、OR 和 XOR 是位运算中常用的操作符。我们可以利用这些操作符来计算具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列。

什么是 Bitwise AND、OR 和 XOR 操作

Bitwise AND 操作符(&)对两个二进制数的每一位执行 AND 操作，只有在两个二进制数对应位都是 1 时才得到 1。

Bitwise OR 操作符(|)对两个二进制数的每一位执行 OR 操作，只有在两个二进制数对应位都是 0 时才得到 0。

Bitwise XOR 操作符(^)对两个二进制数的每一位执行 XOR 操作，只有在两个二进制数对应位不同时才得到 1。

如何计算具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列

我们可以使用位向量的思想来计算具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列。我们首先遍历原序列，计算出每个元素的二进制表示中 1 的个数，用 2 个二进制数表示的二元组 (x, y) 来表示该元素的 Bitwise AND、OR 和 XOR 值，其中 x 表示这个数中 1 的个数，y 表示这个数 mod 3 的值。

然后我们运用类似于哈希表的思想，将所有具有相同二元组 (x, y) 的元素放到一起，我们只需要在这些元素中选取任意两个元素，它们组成的子序列就是具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列。

具体实现详见下面的代码：

from collections import defaultdict

def count_subsequences(nums):
    # 统计每个元素的 1 的个数和 mod 3 值
    count = defaultdict(lambda: [0, 0])
    for num in nums:
        binary = bin(num)[2:]
        cnt = binary.count('1')
        count[(cnt, num % 3)][0] += 1
        count[(cnt, num % 3)][1] ^= num
    
    # 统计具有相同二元组 (x, y) 的元素数量
    cnt = defaultdict(int)
    for key in count:
        cnt[key[0], key[1]] = count[key][0]
    
    # 计算所有具有相同二元组 (x, y) 的元素中任意两个元素组成的子序列数量之和
    ans = 0
    for key in count:
        ans += cnt[key[0], key[1]] * (cnt[key[0], key[1]] - 1) // 2
    for i in range(32):
        for j in range(3):
            ans += cnt[i, j] * (cnt[i, j] - 1) // 2 // 2 // 2
    return ans

上面的代码使用 defaultdict 统计每个元素的 1 的个数和 mod 3 值。然后我们使用两重循环遍历所有具有相同二元组 (x, y) 的元素，使用组合数求解答案。

总结

本文介绍了如何计算具有相同 Bitwise AND、OR 和 XOR 值的子序列。我们可以使用位向量的思想来计算每个元素的二元组，然后使用组合数统计答案。