数据结构 | 图 | 问题 4

在计算机科学中，图是一种非常有用的数据结构，可以用来表示各种实际应用中的复杂关系。图由节点和边组成，节点表示实体，边表示节点之间的关系。图可以用来解决一些非常重要的问题，例如最短路径、最小生成树和网络流等。

图的基本概念

图是由节点和边组成的数据结构。节点也称为顶点，边也称为连接（线）。

有向图

有向图是一种图，其中每个边都有一个方向。如果边从节点 A 指向节点 B，则称边是从 A 到 B 的，也称为 A 的出边，B 的入边。有向图还有一个概念称为出度和入度。节点的出度是指从该节点出发的边的数量，节点的入度是指到该节点的边的数量。

digraph G {
    A -> B;
    A -> C;
    B -> D;
    C -> D;
}

无向图

无向图是一种图，其中没有边的方向。如果边连接节点 A 和节点 B，则称边是连接 A 和 B 的。

graph G {
    A -- B;
    A -- C;
    B -- D;
    C -- D;
}

解决问题

现在，让我们来看一些用图来解决的问题。

最短路径

最短路径问题是在有向图或无向图中找到从一个源节点到目标节点的最短路径。最短路径可以使用广度优先搜索算法来解决。

function bfs_shortest_path(G, start, end):
    queue = [start]
    visited = set()
    parent = {}
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        visited.add(node)
        for neighbor in G[node]:
            if neighbor not in visited:
                parent[neighbor] = node
                queue.append(neighbor)
            if neighbor == end:
                path = []
                while neighbor != start:
                    path.insert(0, neighbor)
                    neighbor = parent[neighbor]
                path.insert(0, start)
                return path
    return None

最小生成树

最小生成树是在一个连接了所有节点的无向图中找到具有最小总体权重的树。最小生成树可以使用 Kruskal 或 Prim 算法来解决。

# Kruskal 算法
function kruskal_mst(G):
    edges = sorted(G.edges(), key=lambda e: e[2])
    parent = {}
    rank = {}
    result = []
    for node in G.nodes():
        parent[node] = node
        rank[node] = 0
    for edge in edges:
        u, v, weight = edge
        parent_u = find(u)
        parent_v = find(v)
        if parent_u != parent_v:
            result.append(edge)
            if rank[parent_u] > rank[parent_v]:
                parent[parent_v] = parent_u
            else:
                parent[parent_u] = parent_v
                if rank[parent_u] == rank[parent_v]:
                    rank[parent_v] += 1
    return result

# Prim 算法
function prim_mst(G, start):
    pq = PriorityQueue()
    pq.put((0, start))
    visited = set()
    while not pq.empty():
        (cost, node) = pq.get()
        if node in visited:
            continue
        visited.add(node)
        for neighbor, weight in G[node].items():
            if neighbor not in visited:
                pq.put((weight, neighbor))
    return visited

网络流

网络流是图论中的一个问题，主要解决在一张图中如何确定一些节点之间的流量。典型的问题包括最大流和最小割问题。网络流可以基于 Ford-Fulkerson 或 Edmonds-Karp 算法来解决。

# Ford-Fulkerson 算法
function ford_fulkerson(G, source, sink):
    flow = 0
    while True:
        path = bfs_shortest_path(G, source, sink)
        if not path:
            break
        min_flow = float('inf')
        for i in range(len(path) - 1):
            min_flow = min(min_flow, G[path[i]][path[i + 1]]['capacity'])
        for i in range(len(path) - 1):
            G[path[i]][path[i + 1]]['capacity'] -= min_flow
            G[path[i + 1]][path[i]]['capacity'] += min_flow
        flow += min_flow
    return flow

# Edmonds-Karp 算法
function edmonds_karp(G, source, sink):
    flow = 0
    while True:
        path = bfs_shortest_path(G, source, sink)
        if not path:
            break
        min_flow = float('inf')
        for i in range(len(path) - 1):
            min_flow = min(min_flow, G[path[i]][path[i + 1]]['capacity'])
        for i in range(len(path) - 1):
            G[path[i]][path[i + 1]]['capacity'] -= min_flow
            G[path[i + 1]][path[i]]['capacity'] += min_flow
        flow += min_flow
    return flow

结论

在计算机科学中，图是一种非常有用的数据结构，可以用于解决各种复杂的问题。本文介绍了有向图和无向图的基本概念，并演示了一些算法，如广度优先搜索算法、Kruskal 算法、Prim 算法、Ford-Fulkerson 算法和 Edmonds-Karp 算法。熟练使用这些算法可以帮助程序员解决各种复杂的问题，提高代码质量和效率。