GATE-CS-2006 | 第77章

本文主要介绍GATE-CS-2006考试的第77章，涉及的主题包括动态规划和图算法。

动态规划

动态规划是一种通用的算法技术，可以解决优化问题。基本思想是将问题分解成子问题，利用已知的解来求解更大的问题。

背包问题

背包问题是动态规划中的一个经典问题。给定一个背包容量，一组物品的体积和价值，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

下面是一个Python实现：

def knapsack(capacity, weights, values):
    n = len(weights)
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if j >= weights[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][capacity]

最长公共子序列

最长公共子序列问题是另一个经典的动态规划问题。给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。

下面是一个Python实现：

def lcs(str1, str2):
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if str1[i-1] == str2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[m][n]

图算法

图是一种非常重要的数据结构，图算法可以解决很多实际问题。

最短路径

最短路径问题是图算法中的一个经典问题。给定一个带权有向图和起点，找到从起点到其他所有点的最短路径。

下面是一个Python实现：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    n = len(graph)
    distance = [float('inf') for _ in range(n)]
    distance[start] = 0
    heap = [(0, start)]
    visited = set()
    while heap:
        (cost, u) = heapq.heappop(heap)
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        for v, weight in graph[u]:
            if distance[u] + weight < distance[v]:
                distance[v] = distance[u] + weight
                heapq.heappush(heap, (distance[v], v))
    return distance

最小生成树

最小生成树问题是另一个经典的图算法问题。给定一个带权无向图，找到一棵包含所有节点的生成树，使得生成树的边权之和最小。

下面是一个Python实现：

import heapq

def prim(graph):
    n = len(graph)
    visited = set()
    heap = [(0, 0)]
    mst = []
    while heap and len(mst) < n-1:
        (cost, u) = heapq.heappop(heap)
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        for v, weight in graph[u]:
            if v not in visited:
                heapq.heappush(heap, (weight, v))
        if cost > 0:
            mst.append((u, cost))
    return mst

以上是本文对GATE-CS-2006第77章的介绍。涉及的主题包括动态规划和图算法，提供了背包问题、最长公共子序列、最短路径和最小生成树的Python实现。