以K步计算遍历矩阵并返回原点的方法数量

简介

在一个给定的矩阵中，从某一个点出发，每一步可以向上、下、左、右四个方向移动一格，且本题矩阵边缘没有障碍物，例如，从(0,0)出发，可以向右移动到(0,1)，向下移动到(1,0)，等等。现在我们需要计算从起点出发，恰好走K步后回到起点的所有路径数量。

例如，给定的矩阵为：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

从起点(0,0)开始，走4步回到起点的所有路径数量是2。

解法

这是一个比较典型的动态规划问题，我们可以定义一个三维数组$dp[i][j][k]$，其中$i$和$j$表示当前所在的位置，$k$表示还需要走$k$步才能回到起点，那么状态转移方程为：

$$ dp[i][j][k]=\sum_{(x,y)\in {(i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)}} dp[x][y][k-1] $$

也就是说，当前位置的路径数量等于四个方向的路径数量之和。需要注意的是，每次状态转移需要保证当前位置是可到达的（也就是在矩阵范围内）。

初始化时，当$k=0$时，只有在起点的位置路径数量为1，其余位置路径数量都为0。

最终的答案就是$dp[0][0][k]$。

代码实现

这里给出一个Python实现的代码片段：

n = len(matrix)
m = len(matrix[0])
dp = [[[0 for _ in range(K+1)] for _ in range(m)] for _ in range(n)]
dp[0][0][0] = 1
for k in range(1, K+1):
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for x, y in [(i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)]:
                if 0<=x<n and 0<=y<m:
                    dp[i][j][k] += dp[x][y][k-1]
print(dp[0][0][K])

代码中的$matrix$表示矩阵，$K$表示需要走的步数，$n$和$m$分别表示矩阵的行数和列数。需要注意的是，在实际的实现过程中，可能会出现内存限制的问题，需要注意优化空间。