遍历矩阵并以 K 步返回原点的方法计数

在这个问题中，我们需要计算在给定的矩阵中，从任何一点开始，采取 K 步后返回原点的方法的数量。

解决方案

一种解决方法是使用动态编程。 我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j][k] 表示从点 (i, j) 出发，采取 k 步后回到原点的方法数。 题目明确要求走 K 步，因此我们可以增加一个维度，表示已经走过的步数，状态转移方程如下：

dp[i][j][k] = dp[i+1][j][k-1] + dp[i-1][j][k-1] + dp[i][j+1][k-1] + dp[i][j-1][k-1]

即从当前点 (i, j) 出发，如果要走 K 步返回原点，就需要从下一个状态 (i+1, j)，(i-1, j)，(i, j+1)，(i, j-1) 中任选一个状态。同时需要注意，如果当前点 (i, j) 不是原点，那么采取 0 步也无法返回原点。 基于这个状态转移方程，我们可以使用二维数组 dp 对所有状态进行动态规划计算。

代码实现

def countPaths(n: int, k: int, r: int, c: int) -> int:
    dp = [[[0] * (k + 1) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            dp[i][j][0] = 1

    directions = [[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]]
    for s in range(1, k + 1):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                for d in directions:
                    ni, nj = i + d[0], j + d[1]
                    if ni >= 0 and ni < n and nj >= 0 and nj < n:
                        dp[i][j][s] += dp[ni][nj][s - 1]

    return dp[r][c][k]

该函数接受四个参数：

• n：矩阵的边长
• k：需要返回原点的步数
• r：起始行号
• c：起始列号

函数的返回值是从起点 (r, c) 走 k 步回到原点的方法数。 该函数的时间复杂度是 O(kn^2)，空间复杂度是 O(kn^2)。