计算遍历矩阵的方法数

简介

遍历矩阵的方法数是指从矩阵的起点出发，在满足特定条件的情况下沿着矩阵的路径移动到终点的所有可能路径的总数。这个问题是一个经典的动态规划问题，可以用多种方法求解。

状态定义

在计算遍历矩阵的方法数的过程中，需要定义状态变量。状态变量一般用一个二维数组dp[i][j]来表示从起点到(i,j)位置的路径数量。

状态转移方程

要计算状态转移方程，需要考虑当前位置i,j可能从哪些位置转移而来。因为每个位置只能从上面一个位置或者左边一个位置转移过来（除非该位置是起点），所以状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

对于起点位置dp[0][0]而言，它的路径数量为1。

Python代码实现

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i==0 and j==0:
                continue
            if i==0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            elif j==0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度

在上面的实现中，我们需要遍历整个矩阵的所有位置。时间复杂度为O(m*n)。

参考文献

[1] https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/